вторник

Игры среднего поля (Mean Field Games или кратко MFG) — активно развивающееся направление математических исследований на стыке теории меры, теории игр, теории диффузионных процессов и теории нелинейных уравнений с частными производными. Основная задача теории игр среднего поля состоит в описании равновесия Нэша в дифференциальной игре с большим числом игроков.

В рамках данного курса будут рассмотрены элементы теории меры, включая метрику Канторовича и различные способы дифференцирования функций на пространстве вероятностных мер, уравнения непрерывности, принцип суперпозиции, принцип динамического программирования, уравнения Гамильтона-Якоби. 

Также будут выведена и исследована основная система уравнений теории игр среднего поля, исследованы стохастические игры среднего поля. Таким образом, на примере красивых и сложных задач теории игр среднего поля данный курс позволит познакомиться с полезными методами и идеями из нескольких математических дисциплин.

Курс является введением в исчисление Маллявэна, называемое также стохастическим вариационным исчислением, которое в настоящее время является основным методом исследования свойств регулярности распределений функционалов от случайных процессов. С помощью этого метода доказывается существование плотностей распределений, их ограниченность и гладкость, устанавливаются различные оценки, полезные в предельных теоремах. 

Исчисление Маллявэна также нашло эффективные применения в финансовой математике. Результатом освоения данного курса станет умение исследовать распределения от широкого класса случайных процессов, в том числе квадратичных форм, более общих многочленов, стохастических интегралов.

Курс представляет собой введение в приложения геометрии Нийенхейса к интегрируемым системам. Речь идет как про конечномерные системы (геодезические потоки с потенциалами), так и бесконечномерные (гамильтоновы операторы и уравнения мелкой воды, в том числе, многокомпонентные). Так же рассматривается приложение геометрии системам на алгебрах Ли

На первом занятии 17 февраля, в частности, будут рассказаны организационные моменты.

 

Спецкурс посвящен введению в теорию биллиардов - динамических систем с ударами (отражениями от границы). Вдоль траекторий системы сохраняется энергия и независимая с ней функция – первый интеграл системы. Такие системы называют интегрируемыми. В их число входят биллиарды внутри прямоугольника, круга или эллипса. 

Данный спецкурс продолжает полугодовой спецкурс "Элементы топологии интегрируемых биллиардов" осеннего семестра, но многие темы будут рассказываться независимо или с повтором ключевых понятий и результатов. 

В рамках курса будут описаны инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем, позволяющие устанавливать эквивалентность двух систем на уровне топологии слоений Лиувилля - замыканий решений системы. Такие инварианты будут вычислены для различных обобщенных биллиардов, в том числе систем топологических биллиардов и биллиардных книжек, биллиардов с потенциалом. В завершающем разделе курса топологический подход будет применен для анализа систем классической механики и их псевдоевклидовых аналогов. 

Особых предварительных знаний от слушателей не предполагается - а для первичного ознакомления с материалом осеннего семестра, в целом, достаточно пособия лекторов [2], которое предоставляется ими по заявке слушателя. 

Два раза спецкурс пройдёт в пятницу 13 и 20 марта 18:30-20:05. (Дополнительные лекции, по вторникам лекции будут без перерывов.) Аудитория будет объявлена на странице курса. 

Страница курса https://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/dop_glavy_comm_algebry_25-26