Основы механики неголономных систем
Системы Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина. Вывод уравнений Чаплыгина из принципа Д’Аламбера – Лагранжа, записанного в обобщённых координатах.
Члены неголономности. Отличие уравнений Чаплыгина от уравнений Лагранжа. Примеры неголономных систем, для которых члены неголономности обращаются в ноль.
Энергия ускорений системы материальных точек и энергия ускорений твёрдого тела. Аналог формулы Кёнига для энергии ускорений.
Псевдоскорости и псевдокоординаты. Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Аппеля. Примеры решения задач с помощью уравнений Аппеля: шар на вращающейся горизонтальной плоскости, шар в вертикальном цилиндре.
Движение тяжёлого тела вращения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Энергия ускорений тела, уравнения движения тела в форме уравнений Аппеля.
Известные классические случаи полного решения задачи о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: движение динамически симметричного шара и бесконечно тонкого круглого диска.
Результаты Х.М. Муштари в задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Дальнейшее развитие результатов, полученных Х.М. Муштари.
Алгоритм Ковачича и его применение к задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: доказательство отсутствия лиувиллевых решений в задачах о движении по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости бесконечно тонкого диска, диска конечной толщины и тора.
Математические модели, описывающие движение человека на роликовой доске (скейтборде). Кинематика скейтборда. Простейшая математическая модель скейтборда, её уравнения движения в форме уравнений Аппеля.
Зависимость устойчивости равномерного прямолинейного движения скейтборда от направления движения. Случаи полного интегрирования уравнений неуправляемого движения скейтборда.
Метод нормальной формы Пуанкаре и его применение для анализа нелинейных эффектов в динамике скейтборда при малых скоростях движения.
Динамика кельтского камня. Уравнения движения кельтского камня, условия существования стационарных вращений. Зависимость устойчивости равномерного вращения кельтского камня от направления вращения.
Применение метода нормальной формы Пуанкаре для исследования нелинейных эффектов в динамике кельтского камня при малых угловых скоростях вращения.
Движение по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух симметричных пластинок. Олоид и тело, состоящее из двух эллиптических пластинок. Траектории точек касания тела с плоскостью на неподвижной плоскости.
Положения равновесия тела, состоящего из двух симметричных пластинок и опирающегося на горизонтальную плоскость. Зависимость устойчивости положений равновесия от взаимного расположения пластинок.
Математическая модель, описывающая движение человека на роликовой доске – снейкборде. Уравнения движения снейкборда в форме уравнений Аппеля. Обоснование основных принципов катания на снейкборде.
Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твёрдой поверхностью. М.: Наука, 1992.
Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.
Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002.
Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука. Физматлит, 1997.
Антонов И.Л. Избранные задачи теоретической механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.
Антонов И.Л. Как решать задачи по теоретической механике. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2010.
Чаплыгин С.А. О движении тяжёлого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 9. Вып. 1. С. 10-16.
Классическая динамика неголономных систем, с одной стороны, имеет примерно полуторавековую историю, а с другой – всё ещё, так или иначе, сохраняет облик дисциплины изолированной и отчасти противопоставленной динамике систем голономных. Дело здесь не столько в названии, сколько – во первых – в том, что объекты этой дисциплины исследуются скорее индивидуально, нежели на основании общих подходов, которые расширяли бы методы динамики голономных систем и – во вторых – в том, что ведут себя эти объекты, согласно широко распространённому мнению, часто неожиданно. В динамике неголономных систем известно сравнительно немного точно решённых задач, поэтому исследования, относящиеся к этой науке, вызывают известный интерес как у нас в стране, так и за рубежом.
Неголономные модели различных механических систем находят применение при решении многих технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла, в теории движения автомобиля, в теории взаимодействия колеса и дороги, в теории движения электрических машин и, с недавнего времени, при изучении движения мобильных роботов.
Цель курса состоит в том, чтобы познакомить слушателей с общими принципами и методами неголономной механики и дать им представление об основных новых методах неголономной механики, научить их решать широкий класс задач, а также сформировать их культурные и профессиональные навыки. В результате работы над данным курсом слушатели должны овладеть основными новыми методами неголономной механики, позволяющими, в частности, быстро и эффективно, получать уравнения движения систем с дифференциальными связями и проводить анализ этих уравнений. Слушатели должны научиться теоретическому мышлению на новом уровне, включающем в себя применение полученных теоретических знаний к решению актуальных задач механики.