суббота

Виды деривативных контрактов – Форварды, Фьючерсы, Опционы
Модели биномиального риска
Случайные процессы, Интеграл Ито, Формула Ито
Модель Блэка-Шоулза, Вывод формулы Блэка Шоулза
Греки и Хеджирование, Численные методы прайсинга
Локальная и статистическая волатильность
Высокочастотный трейдинг, микроструктура рынка
Высокочастотный Market Making и оптимальное стохастическое управление
Модель Авеланеды-Стоикова
Обобщения модели Авеланеды-Стоикова, модель Гуанта-Легаля-Фернандеса-Тапии, модель
Картеа
Статистический арбитраж
Машинное обучение в финансах, предсказания временных рядов
Метрики точности предсказательных моделей – R squared, ROC AUC
Модели ARCH и GARCH
Линейная и логистическая регрессия, регрессия Ridge, LASSO
Сравнение нейросетей для временных рядов – линейные, вероятностные, LSTM, Transformers
Применение Reinforcement Learning в финансах
Сравнение алгоритмов DQN и PPO

Тригонометрические ряды.
Теория приближений в нормированных пространствах.
Теория всплесков.
Полугруппы операторов.

Абелевы функции.
Функции нескольких комплексных переменных.
Приближения аналитическими функциями.

Линейная регрессия
Регуляризация в регрессионных моделях
GLM-модели.
Классификация
Кластеризация
Байесовский подход

Понятие информации и её кодирование. Помехоустойчивость, увеличение скорости передачи информации, защита информации.
Секретные и открытые ключи. Алфавитное кодирование. Префиксные коды. Неравенство Крафта—МакМиллана. Теорема о минимальной длине префиксного кода.
Циклические коды. Конечные поля. Неприводимые многочлены.
Криптографические протоколы. Протокол для игры ``Орёл-решка’’ по телефону. Электронная подпись.
Сложность арифметических операций. Алгоритм Евклида. Операции в кольце вычетов. Дискретное преобразование Фурье. Наименьший первообразный корень.
Проверка числа на простоту: решето Эратосфена, критерий Вильсона, малая теорема Ферма, числа Кармайкла, тесты Соловея—Штрассена, Рабина—Миллера.
Полиномиальный тест проверки на простоту.
Построение больших простых чисел. Критерий Люка. Числа Мерсенна.
Алгоритмы разложения натуральных чисел на множители. Метод квадратичного решета.
1Криптографическая система RSA. Задача об укладке рюкзака. ``Рюкзачная’’ система шифрования. Криптографические хеш-функции.
Китайская теорема об остатках. Арифметический вариант шифра Виженера.

Функция g(n)
Функция G(n)
Сумма квадратов: G(2)
Сумма кубов: G(3)
Сумма четвёртых степеней: G(4)
Сумма пятых степеней: G(5)
Проблема Варинга — Гольдбаха
Точность представления целого числа суммой степеней
Многомерный аналог проблемы Варинга

Абсциссы сходимости, абсолютной сходимости ряда Дирихле и регулярность функции. Асимптотическое поведение функции, когда мнимая часть аргумента стремится к бесконечности. Порядок функции. Формула для среднего значения. Теорема единственности. Представление функций рядами Дирихле.
Формула Перрона для суммы коэффициентов частичной суммы ряда Дирихле. Преобразование Меллина. Явная формула для выражения функции Римана.
Характеры Дирихле по модулю натурального числа. L-ряды Дирихле и L-суммы. йлеровское произведение. Аналитическое продолжение.
Функциональное уравнение для L-функции Дирихле.
Приближение L-функции Дирихле в критической полосе частичной суммой ряда. Приближенное функциональное уравнение.
Асимптотический закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях. Отсутствие нулей L-функции на единичной прямой. Зигелевский нуль.
Выражение функции Чебышева для арифметической прогрессии через суммы по нулям L-функций.

Методы разделяй и властвуй. Быстрое преобразование Фурье.
Структуры данных. Распределённые хеш-таблицы. Фильтр Блума.
Потоки в сетях
Поиск подстроки
Классы P и NP. Сведение задач. NP-полнота

Сложность алгоритмов
Методы разделяй и властвуй
Структуры данных. Деревья поиска.
Алгоритмы на графах
Жадные алгоритмы
Динамическое программирование

Голономные и неголономные связи. Простейшие неголономные системы: сани Чаплыгина, шар на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Элементарное доказательство их неголономности.
Системы Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина. Вывод уравнений Чаплыгина из принципа Д’Аламбера – Лагранжа, записанного в обобщённых координатах.
Члены неголономности. Отличие уравнений Чаплыгина от уравнений Лагранжа. Примеры неголономных систем, для которых члены неголономности обращаются в ноль.
Энергия ускорений системы материальных точек и энергия ускорений твёрдого тела. Аналог формулы Кёнига для энергии ускорений.
Псевдоскорости и псевдокоординаты. Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Аппеля. Примеры решения задач с помощью уравнений Аппеля: шар на вращающейся горизонтальной плоскости, шар в вертикальном цилиндре.
Движение тяжёлого тела вращения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Энергия ускорений тела, уравнения движения тела в форме уравнений Аппеля.
Известные классические случаи полного решения задачи о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: движение динамически симметричного шара и бесконечно тонкого круглого диска.
Результаты Х.М. Муштари в задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Дальнейшее развитие результатов, полученных Х.М. Муштари.
Алгоритм Ковачича и его применение к задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: доказательство отсутствия лиувиллевых решений в задачах о движении по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости бесконечно тонкого диска, диска конечной толщины и тора.
Математические модели, описывающие движение человека на роликовой доске (скейтборде). Кинематика скейтборда. Простейшая математическая модель скейтборда, её уравнения движения в форме уравнений Аппеля.
Зависимость устойчивости равномерного прямолинейного движения скейтборда от направления движения. Случаи полного интегрирования уравнений неуправляемого движения скейтборда.
Метод нормальной формы Пуанкаре и его применение для анализа нелинейных эффектов в динамике скейтборда при малых скоростях движения.
Динамика кельтского камня. Уравнения движения кельтского камня, условия существования стационарных вращений. Зависимость устойчивости равномерного вращения кельтского камня от направления вращения.
Применение метода нормальной формы Пуанкаре для исследования нелинейных эффектов в динамике кельтского камня при малых угловых скоростях вращения.
Движение по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух симметричных пластинок. Олоид и тело, состоящее из двух эллиптических пластинок. Траектории точек касания тела с плоскостью на неподвижной плоскости.
Положения равновесия тела, состоящего из двух симметричных пластинок и опирающегося на горизонтальную плоскость. Зависимость устойчивости положений равновесия от взаимного расположения пластинок.
Математическая модель, описывающая движение человека на роликовой доске – снейкборде. Уравнения движения снейкборда в форме уравнений Аппеля. Обоснование основных принципов катания на снейкборде.