12:30-14:05

Элементы дифференциальной геометрии, тензорной алгебры и тензорного анализа, необходимые для построения моделей в механике.
Кинематика подвижного континуума. Подходы Лагранжа и Эйлера. Описание конечных и малых деформаций соответствующими тензорами. Формулы Чезаро. Тензор несовместности. Уравнения Сен-Венана.
Механические напряжения. Формула Коши. Три закона МДТТ и соответствующие уравнения: закон сохранения массы и уравнение неразрывности; закон изменения количества движения и уравнение движения сплошной среды; закон изменения момента количества в форме закона парности касательных напряжений. Площадки максимальных касательных напряжений. Круги Мора.
Тензор Пиолы и его несимметричность. Теорема живых сил в актуальной конфигурации (тензор Коши) и в отсчетной конфигурации (тензор Пиолы).
Изотермическая модель линейно-упругого материала. Обобщенный закон Гука. Упругие модули и податливости. Упругий потенциал. Типы симметрии упругих модулей.
Изотропный материал. Модули Ламе. Закон Гука и обратный закон Гука для изотропного материала. Технические константы: модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Уравнения движения Ламе. Уравнения Бельтрами-Митчелла.
Постановка общей краевой статической задачи математической теории упругости. Ослабление граничных условий: принцип Ceн-Beнана. Теорема единственности решения краевой статической задачи. Полуобратный метод Сен-Венана. Формулы Чезаро для простейших задач математической теории упругости. Простейшие задачи: всестороннее равномерное сжатие односвязной области; чистый сдвиг упругого слоя; осевое растяжение призматического стержня; растяжение стержня под действием собственного веса; кручение круглого призматического бруса; чистый изгиб призматической прямой балки.
Задача Ламе о деформировании упругой толстостенной упругой трубы под действием внутреннего и внешнего давлений.

Основные соотношения механики деформируемого твердого тела. Слабая (вариационная) постановка задач прочности. Поиск решения в пространстве обобщенных функций. Эквивалентность двух постановок. Методы решения вариационных постановок задач прочности, методы взвешенных ошибок: метод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод Галеркина. Основы метода конечных элементов (МКЭ). Функции формы. Интегрирование базисных функций. Применение МКЭ для решения задач теории упругости путем минимизации потенциальной энергии деформаций, эквивалентность с методом Галеркина для линейного случая. Типы конечных элементов. Построение конечноэлементных сеток в 2D и 3D. Адаптивные сетки. Вычислительная геометрия. Индексация элементов. Оптимальная нумерация, пространственно плотные кривые. Ассемблирование элементов. Локальные и глобальные матрицы жесткости. Способы хранения разреженных матриц. Решение СЛАУ с разреженной матрицей. Прямые и итерационные методы. Применение переобуславливателей. Сведение уравнений теории упругости к уравнениям МКЭ. Граничные условия. Конечные деформации. Геометрическая нелинейность. Физически нелинейные задачи. Метод Ньютона. Модифицированный метод Ньютона. Нахождение результатов. Согласованные результанты элемента. Сглаживание напряжений. Несжимаемые материалы. Смешанная постановка. Решение на разнесенных сетках. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей седлового типа. Смешанная постановка задач упругости. Вязкоупругие материалы. Интегралы свертки. Динамические задачи. Схемы Ньюмарка. Неотражающие граничные условия. О решении контактных задач. Общие сведения о модификации МКЭ. Элементы высокого порядка. Квадратуры Гаусса. Метод спектральных элементов (МСЭ). Выбор численного метода. Сравнение метода конечных элементов (МКЭ) и метода спектральных элементов (МСЭ). Трёхмерные задачи нестационарной теории упругости . МСЭ для полностью неоднородных сред. Моделирование акустического каротажа в анизотропной вязкоупругой среде трёхмерным методом спектральных элементов (МСЭ). Оптимизация вычислений. Раскраска сетки. Общие сведения о применении видеопроцессоров. Стандарт CUDA. Архитектура вычислений. Типы памяти. Примеры быстрой реализации алгоритмов: перемножение матриц, параллельное суммирование вектора. Построение локальной и глобальной матрицы жесткости на CUDA. Раскраска элементов и атомарные операции. Решение СЛАУ на CUDA. Интегрирование по времени. Использование методов библиотеки CUBLAS. Реализация на CUDA схем высокого порядка точности. Использование кэша, разделяемой памяти. Расчеты на гибридных кластерах. MPI/MultiGPU распараллеливание. Иерархия параллельных процессов, потоков. Синхронизация и обмен данными.

Основные понятия теории устойчивости стационарных систем. Метод функций Ляпунова.
Критерий Рауса-Гурвица и метод D-разбиений.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия. Теоремы Кельвина-Четаева, вековая и временная устойчивость.
Устойчивость стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Устойчивость относительных равновесий обобщенно-консервативных голономных систем. Соответствие относительных равновесий и стационарных движений и соотношение условий их устойчивости.
Ветвление положений равновесия и стационарных движений. Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла.
Стационарные движения динамических систем с первыми интегралами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Стационарные движения диссипативных динамических систем с первыми интегралами. Теоремы об устойчивости, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Устойчивость точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.
Устойчивость относительных равновесий и стационарных движений физического маятника с вращающейся осью подвеса.
Устойчивость стационарных движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случаях Эйлера и Лагранжа.
Устойчивость относительных равновесий спутника на круговой орбите.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений гантели Белецкого.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений волчка «тип-топ».
Устойчивость и бифуркация инвариантных множеств в задаче Горячева-Чаплыгина.

Симплициальные гомологии
Сингулярные гомологии
Клеточные гомологии
Гомологии с коэффициентами и когомологии
Кольцо когомологий
Двойственность Пуанкаре

Введение в теорию вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.
Сходимость последовательностей событий. Лемма Бореля-Кантелли.
Случайные величины, их свойства.
Примеры распределений и функций распределения.
Сходимость последовательностей случайных величин.
Теорема Чебышева. Теорема Пуассона. Предельные теоремы Муавра- Лапласа.
Вероятностные модели.
Производящие и характеристические функции. Примеры распределений и характеристических функций.
Закон больших чисел, закон повторного логафифма.
Центральная предельная теорема. Теоремы Линдеберга–Феллера и Ляпунова.
Асимптотические разложения в центральной предельной теореме.
Экспоненциальные оценки уклонений.
Асимптотические разложения в аддитивных задачах.

Волны с энерговыделением. Детонация и горение. Сильная и слабая детонация, сильная и слабая дефлаграция (горение).
Процессы Чепмена-Жуге (минимальная скорость стационарной детонации, максимальная скорость стационарной дефлаграции). Стационарность изменения энтропии вдоль кривой Гюгонио и прямых Михельсона в точках Чепмена-Жуге.
Изменение энтропии вдоль адиабаты Гюгонио с энерговыделением и вдоль прямых Михельсона.
Степень определенности решения задач о поршне при наличии волн детонации или горения.
Примеры решения задач о распространении волн сильной и слабой детонации или дефлаграции в трубе при движении в ней поршня с положительной или отрицательной скоростью.
Переходные режимы задач распространения волн с энерговыделением. Переход горения в детонацию, расщепление детонационной волны на ударную и отстающую от нее волну горения. Галоппирующие режимы. Пульсирующая и спиновая детонация.
Полная система уравнений физико-химической газовой динамики многокомпонентных сред с учетом теплообмена, диффузии и физико-химических превращений. Осредненные модели турбулентности и необходимость их применения при численном решении задачи. Подсеточная турбулентность. Постановка граничных условий.
Моделирование кинетики химических реакций. Сокращенные кинетические механизмы. Роль цепных реакций при возникновении детонации.
Численное моделирование задач распространения турбулентного горения и перехода горения в детонацию. Роль геометрических факторов при возникновении переходных режимов и расщеплении детонационных волн. Возникновение низкоскоростной детонации и высокоскоростного горения. Влияние состава и температуры смеси на переходные режимы.
Инициирование детонации при отражении ударных волн и их фокусировки в конических и клиновидных кавернах. Сравнение вычислительного моделирования и экспериментов в ударных трубах.
Промежуточная аттестация: коллоквиум (указывается форма проведения)
Применение детонации в двигателях, использующих принципы детонационного горения. Устройства с пульсирующей детонационной волной и с непрерывно вращающейся детонационной волной.
Детонация и горение в гетерогенных средах. Процессы внутри зоны реакции. Основные уравнения для описание химически реагирующих течений в многофазных средах. Параметры межфазных взаимодействий. Применение метода Эйлера для описания движения газовой фазы и метода Лагранжа для описания движения диспергированной фазы.
Аэровзвеси. Горение капли горючего в атмосфере окислителя. Задачи диффузионного горения. Равновесные и неравновесные модели испарения.
Учет многостадийности химических реакций в рамках решения задач диффузионного горения. Примеры горения капель в режиме «холодного» пламени. Результаты экспериментов в условиях микрогравитации.
Взаимодействие капель жидкости с газовым потоком, два режима испарения. Вычислительное моделирование распространения пламени в аэровзвеси, перехода горения в детонацию, воспламенения струи при попадании в камеру сгорания, воспламенение облака частиц при падении на него ударной волны.
Горение частиц, содержащих твердые и жидкие горючие компоненты в атмосфере окислителя. Гетерогенные реакции. Динамика выгорания частиц. Распространение турбулентного горения в аэровзвеси в замкнутом объеме. Роль начальной турбулизации при определении времени и энергии зажигания, а также скорости распространения турбулентного пламени. Влияние неоднородности аэровзвеси на пределы зажигания.
Горение поверхности горючего в потоке окислителя. Решение задачи в рамках приближений плоского пограничного слоя. Распространение пламени навстречу потоку.
Результаты вычислительного моделирования распространения пламени над поверхностью горючего материала в спутном потоке, сравнение с точными решениями пограничного слоя. Неустойчивость фронта горения. Моделирование неустановившихся процессов запуска гибридного двигателя.

Понятие волны, волнового процесса. Понятия фазовой скорости, длины, частоты, периода волны, волнового числа и волнового вектора. Понятие плоских, цилиндрических и сферических волн.
Вывод балансовым методом системы уравнений для описания нестационарного течения невязкого нетеплопроводного газа в канале переменного сечения в одномерном приближении.
Преобразование системы уравнений квазиодномерной газовой динамики к виду удобному для линеаризации.
Линеаризация квазиодномерной системы уравнений газовой динамики для течения в канале с неподвижными стенками термически и калорически совершенного газа. Преобразование линеаризованной системы уравнений для случая, когда основное невозмущенное движение газа – состояние покоя.
Вывод волновых уравнений для скорости, давления, плотности газа. Введение потенциала скорости и получение для него волнового уравнения.
Построение общего решения волнового уравнения для случая плоских и сферических волн.
Постановка и решение задачи Коши для волнового уравнения в плоском случае.
Задача Коши для волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод продолжений. Постановка и решение первой и второй краевых задачи.
Интегральные формы записи основных законов сохранения. Вывод интегральной формы записи квазиодномерной системы уравнений газовой динамики.
Линеаризация интегральной системы уравнений квазиодномерной газовой динамики для случая когда основное невозмущенное движение газа – состояние покоя.
Вывод условий на сильном разрыве из линеаризованной интегральной системы уравнений.
Постановка и решение интегрального аналога задачи Коши для волнового уравнения на неограниченной прямой. Постановка и решение интегрального аналога первой краевой задачи для волнового уравнения на полуограниченной прямой .
Определение характеристик как линий распространения разрывов производных решений интегрального аналога волнового уравнения (линии слабого разрыва). Получение кинематических и динамических условий на слабом разрыве.
Определение характеристик как линий слабого разрыва искомых функций исходной линеаризованной системы уравнений квазиодномерной газовой динамики.
Доказательство утверждения о том, что характеристики семейств – это линии в фазовой плоскости, при постановке начальных условий на которых задача Коши как для волнового уравнения, так и для исходной линейной системы уравнений газовой динамики имеет неединственное решение. Условия направлений и условия совместности на характеристиках.
Основы метода u-p диаграмм. Решение методом u-p диаграмм задачи о распаде произвольного разрыва в покоящемся газе.
Инварианты Римана для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики для случая плоской симметрии. Решение задачи Коши для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики при помощи инвариантов Римана.

Уравнение Беллмана
Алгоритм Ховарда
Эргодическое уравнение Беллмана
Эргодический алгоритм Ховарда
Обратные СДУ Парду - Пенга, их связь с задачами стохастического управления

Аналитический подход к решению сложных задач аддитивной теории чисел.
Проблема Варинга и её обобщения.
Проблема Гильберта — Камке.
Тернарная проблема Гольдбаха (для достаточно больших чисел).