12:30-14:05

Системы ОДУ: фазовый поток, первые интегралы, инвариантные меры, теорема Лиувилля об инвариантных мерах с гладкой плотностью.
Ограничение инвариантной меры на множество уровня первого интеграла. Инвариантная мера отображения Пуанкаре.
Отображение Пуанкаре, его первые интегралы и инвариантные меры.
Отображение Пуанкаре периодической траектории. Мультипликаторы, гиперболичность, условия орбитальной устойчивости.
Теоремы Пуанкаре о возмущении невырожденных периодических траекторий.
Теорема Пуанкаре о возвращении .
Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Инвариантная форма уравнений Гамильтона.
Симплектичность отображения Пуанкаре гамильтоновой системы. Свойства мультипликаторов периодических траекторий гамильтоновых систем.
Скобка Пуассона, порожденная симплектической структурой. Коммутирующие гамильтоновы потоки.
Вырожденные скобки Пуассона. Примеры из динамики твердого тела.
Вполне интегрируемые гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля-Арнольда (без доказательства).
Переменные действие-угол гамильтоновой системы с одной степенью свободы.
Устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболического состояния равновесия и гиперболической периодической траектории.
Сеператрисы гамильтоновой системы с полутора степенями свободы. Расщепление сепаратрис.
Функция Пуанкаре-Мельникова, существование трансверсальных гомоклинических точек.
Стандартное отображение Чирикова. Антиинтегрируемый предел. Понятие о хаотических системах.

Основные соотношения механики деформируемого твердого тела. Слабая (вариационная) постановка задач прочности. Поиск решения в пространстве обобщенных функций. Эквивалентность двух постановок. Методы решения вариационных постановок задач прочности, методы взвешенных ошибок: метод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод Галеркина. Основы метода конечных элементов (МКЭ). Функции формы. Интегрирование базисных функций. Применение МКЭ для решения задач теории упругости путем минимизации потенциальной энергии деформаций, эквивалентность с методом Галеркина для линейного случая. Типы конечных элементов. Построение конечноэлементных сеток в 2D и 3D. Адаптивные сетки. Вычислительная геометрия. Индексация элементов. Оптимальная нумерация, пространственно плотные кривые. Ассемблирование элементов. Локальные и глобальные матрицы жесткости. Способы хранения разреженных матриц. Решение СЛАУ с разреженной матрицей. Прямые и итерационные методы. Применение переобуславливателей. Сведение уравнений теории упругости к уравнениям МКЭ. Граничные условия. Конечные деформации. Геометрическая нелинейность. Физически нелинейные задачи. Метод Ньютона. Модифицированный метод Ньютона. Нахождение результатов. Согласованные результанты элемента. Сглаживание напряжений. Несжимаемые материалы. Смешанная постановка. Решение на разнесенных сетках. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей седлового типа. Смешанная постановка задач упругости. Вязкоупругие материалы. Интегралы свертки. Динамические задачи. Схемы Ньюмарка. Неотражающие граничные условия. О решении контактных задач. Общие сведения о модификации МКЭ. Элементы высокого порядка. Квадратуры Гаусса. Метод спектральных элементов (МСЭ). Выбор численного метода. Сравнение метода конечных элементов (МКЭ) и метода спектральных элементов (МСЭ). Трёхмерные задачи нестационарной теории упругости . МСЭ для полностью неоднородных сред. Моделирование акустического каротажа в анизотропной вязкоупругой среде трёхмерным методом спектральных элементов (МСЭ). Оптимизация вычислений. Раскраска сетки. Общие сведения о применении видеопроцессоров. Стандарт CUDA. Архитектура вычислений. Типы памяти. Примеры быстрой реализации алгоритмов: перемножение матриц, параллельное суммирование вектора. Построение локальной и глобальной матрицы жесткости на CUDA. Раскраска элементов и атомарные операции. Решение СЛАУ на CUDA. Интегрирование по времени. Использование методов библиотеки CUBLAS. Реализация на CUDA схем высокого порядка точности. Использование кэша, разделяемой памяти. Расчеты на гибридных кластерах. MPI/MultiGPU распараллеливание. Иерархия параллельных процессов, потоков. Синхронизация и обмен данными.

Метод функций Ляпунова в неавтономном случае. Функции Хана.
Устойчивость линейных систем. Теория Флоке-Ляпунова.
Теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению для периодических систем. Критерий локализации корней полиномов внутри единичного круга.
Устойчивость по части переменных. Теоремы Румянцева.
Орбитальная устойчивость. Теоремы Ляпунова и Пуанкаре.
Устойчивость линейных гамильтоновых систем. Примеры локализации корней полиномов на мнимой оси и на единичной окружности.
Основные теоремы метода осреднения.
Критические случаи в стационарных системах. Приведение к каноническому виду.
Критический случай одного нулевого корня и его связь с ветвлением стационарных решений.
Критический случай пары чисто мнимых корней и его связь с рождением периодических решений.
Особенный случай нескольких нулевых корней и его связь с наличием семейств стационарных решений.
Критические случаи в периодических системах.
Устойчивость и бифуркация движений трехколесного робота.
Устойчивость перманентных вращений «кельтского камня».
Устойчивость верхнего положения равновесия математического маятника с вибрирующей точкой подвеса.

Основные понятия теории устойчивости стационарных систем. Метод функций Ляпунова.
Критерий Рауса-Гурвица и метод D-разбиений.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия. Теоремы Кельвина-Четаева, вековая и временная устойчивость.
Устойчивость стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Устойчивость относительных равновесий обобщенно-консервативных голономных систем. Соответствие относительных равновесий и стационарных движений и соотношение условий их устойчивости.
Ветвление положений равновесия и стационарных движений. Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла.
Стационарные движения динамических систем с первыми интегралами. Теорема Рауса и понятие о ее обращении.
Стационарные движения диссипативных динамических систем с первыми интегралами. Теоремы об устойчивости, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Устойчивость точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.
Устойчивость относительных равновесий и стационарных движений физического маятника с вращающейся осью подвеса.
Устойчивость стационарных движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случаях Эйлера и Лагранжа.
Устойчивость относительных равновесий спутника на круговой орбите.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений гантели Белецкого.
Устойчивость положений равновесия консервативных голономных систем. Теорема Лагранжа и понятие о ее обращении. Коэффициенты устойчивости и степень неустойчивости по Пуанкаре.
Устойчивость и бифуркация стационарных движений волчка «тип-топ».
Устойчивость и бифуркация инвариантных множеств в задаче Горячева-Чаплыгина.

Предельные теоремы.
Безграничная делимость. Канонический вид. Теорема Колмогорова.
Понятие о процессах Леви.
Современные приложения марковских процессов общего вида. Детальный баланс и обратимость.
О вкладе отечественной и зарубежных научных школ в развитие теории вероятностей

Симплициальные гомологии
Сингулярные гомологии
Клеточные гомологии
Гомологии с коэффициентами и когомологии
Кольцо когомологий
Двойственность Пуанкаре

Введение в теорию вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.
Сходимость последовательностей событий. Лемма Бореля-Кантелли.
Случайные величины, их свойства.
Примеры распределений и функций распределения.
Сходимость последовательностей случайных величин.
Теорема Чебышева. Теорема Пуассона. Предельные теоремы Муавра- Лапласа.
Вероятностные модели.
Производящие и характеристические функции. Примеры распределений и характеристических функций.
Закон больших чисел, закон повторного логафифма.
Центральная предельная теорема. Теоремы Линдеберга–Феллера и Ляпунова.
Асимптотические разложения в центральной предельной теореме.
Экспоненциальные оценки уклонений.
Асимптотические разложения в аддитивных задачах.

Поверхностные волны Рэлея. Постановка задачи и доказательство существования волн. Отсутствие дисперсии для волн Рэлея. Волны в слоистом упругом полупространстве (Волны Лява). Доказательство существования волн. Дисперсия волн. Понятие о простейшем волноводе на примере волн в упругом слое. Ограничения на длины волн в волноводе (длина волны отсечки).
Волны в упругой пластине. Симметричные и антисимметричные моды колебаний. Предельные случаи скоростей волн в зависимости от величины отношения длины волны к толщине пластины.
Волны в круглом стержне в предположении осевой симметрии движения. Дисперсия волн в круглом стержне. «Стержневая скорость» как предельный случай величины скорости возмущений для длинных, по сравнению с диаметром стержня, волн.
Стационарные колебания упругого тела. Использование интегральных преобразований в теории упругости. Пример построения решения плоской задачи Лэмба – о колебаниях упругой полуплоскости под действием периодической во времени сосредоточенной нагрузке, приложенной на границе. Выделение волн Рэлея.
Волновое уравнение и уравнение Эйконала. Метод функционально-инвариантных решений волнового уравнения (Метод Смирнова – Соболева).Общее решение волнового уравнения. Частные случаи общего решения (решение в форме плоской волны, решение в форме «комлексной» волны).
Построение решения для взаимодействия волны произвольного профиля возмущений с границей раздела двух сред с помощью функционально инвариантных решений в случае регулярного взаимодействия.
Использованием функционально инвариантных решений для исследования волн Рэлея произвольного профиля. Нерегулярное взаимодействие волны произвольного профиля с границей раздела сред. Полное внутреннее отражение.
Однородные комплексные функционально инвариантные решения волнового уравнения и их использование для автомодельных плоских задач теории упругости.
Понятие о дифракции волн. Построение решения дифракции плоской волны поперечной поляризации (H-V) на препятствии в виде абсолютно гладкого жесткого клина заданного угла раствора.
Использование функционально инвариантных решений для плоских нестационарных задач теории упругости. Представление перемещений и напряжений в виде действительной части от комбинации комплексных потенциалов продольных и поперечных волн.
Решение автомодельной задачи о нестационарном воздействии давлением на границу упругой полуплоскости.
Задача о внезапной нагрузке упругой полуплоскости подвижной сосредоточенной силой. Нестационарная задача Лэмба, как частный случай рассмотренного решения. Пример решения нестационарной задачи Лэмба (Метод Каньяра).
Пример волн, разделяющих среды с разной реологией (волны разгрузки Рахматулина).
Специфика распространения волн при наличии внешнего сухого трения. Волновые задачи для стержня с внешним сухим трением. Волны в нити на шероховатой поверхности.
Нелинейные волны в нити. Пример исследования квазилинейной системы уравнений нити.
Волны сильного разрыва в нити. Условия на фронте сильного разрыва в многомерном случае.
Волновая задача для переменной во времени области. Влияние скорости границы. Влияние геометрических связей. Вынужденные сильные разрывы.

Волны с энерговыделением. Детонация и горение. Сильная и слабая детонация, сильная и слабая дефлаграция (горение).
Процессы Чепмена-Жуге (минимальная скорость стационарной детонации, максимальная скорость стационарной дефлаграции). Стационарность изменения энтропии вдоль кривой Гюгонио и прямых Михельсона в точках Чепмена-Жуге.
Изменение энтропии вдоль адиабаты Гюгонио с энерговыделением и вдоль прямых Михельсона.
Степень определенности решения задач о поршне при наличии волн детонации или горения.
Примеры решения задач о распространении волн сильной и слабой детонации или дефлаграции в трубе при движении в ней поршня с положительной или отрицательной скоростью.
Переходные режимы задач распространения волн с энерговыделением. Переход горения в детонацию, расщепление детонационной волны на ударную и отстающую от нее волну горения. Галоппирующие режимы. Пульсирующая и спиновая детонация.
Полная система уравнений физико-химической газовой динамики многокомпонентных сред с учетом теплообмена, диффузии и физико-химических превращений. Осредненные модели турбулентности и необходимость их применения при численном решении задачи. Подсеточная турбулентность. Постановка граничных условий.
Моделирование кинетики химических реакций. Сокращенные кинетические механизмы. Роль цепных реакций при возникновении детонации.
Численное моделирование задач распространения турбулентного горения и перехода горения в детонацию. Роль геометрических факторов при возникновении переходных режимов и расщеплении детонационных волн. Возникновение низкоскоростной детонации и высокоскоростного горения. Влияние состава и температуры смеси на переходные режимы.
Инициирование детонации при отражении ударных волн и их фокусировки в конических и клиновидных кавернах. Сравнение вычислительного моделирования и экспериментов в ударных трубах.
Промежуточная аттестация: коллоквиум (указывается форма проведения)
Применение детонации в двигателях, использующих принципы детонационного горения. Устройства с пульсирующей детонационной волной и с непрерывно вращающейся детонационной волной.
Детонация и горение в гетерогенных средах. Процессы внутри зоны реакции. Основные уравнения для описание химически реагирующих течений в многофазных средах. Параметры межфазных взаимодействий. Применение метода Эйлера для описания движения газовой фазы и метода Лагранжа для описания движения диспергированной фазы.
Аэровзвеси. Горение капли горючего в атмосфере окислителя. Задачи диффузионного горения. Равновесные и неравновесные модели испарения.
Учет многостадийности химических реакций в рамках решения задач диффузионного горения. Примеры горения капель в режиме «холодного» пламени. Результаты экспериментов в условиях микрогравитации.
Взаимодействие капель жидкости с газовым потоком, два режима испарения. Вычислительное моделирование распространения пламени в аэровзвеси, перехода горения в детонацию, воспламенения струи при попадании в камеру сгорания, воспламенение облака частиц при падении на него ударной волны.
Горение частиц, содержащих твердые и жидкие горючие компоненты в атмосфере окислителя. Гетерогенные реакции. Динамика выгорания частиц. Распространение турбулентного горения в аэровзвеси в замкнутом объеме. Роль начальной турбулизации при определении времени и энергии зажигания, а также скорости распространения турбулентного пламени. Влияние неоднородности аэровзвеси на пределы зажигания.
Горение поверхности горючего в потоке окислителя. Решение задачи в рамках приближений плоского пограничного слоя. Распространение пламени навстречу потоку.
Результаты вычислительного моделирования распространения пламени над поверхностью горючего материала в спутном потоке, сравнение с точными решениями пограничного слоя. Неустойчивость фронта горения. Моделирование неустановившихся процессов запуска гибридного двигателя.

Архитектура фон Неймана. Скалярная и суперскалярная архитектуры. CISC, RISC и VLIW архитектуры. SMP и ccNUMA архитектуры.
Многопроцессорные архитектуры. Кластеры, суперЭВМ. Примеры. Иерархия памяти. Кэш память. Когерентность кэша. Иерархия памяти.
Классификация Флинна. Ускорение вычислений. ЗаконАмдала.
Параллельные ЭВМ с общей и локальной памятью. Топология вычислительных сетей. Примеры топологий. GRID.
Параллельные алгоритмы. Зернистость алгоритма. Граф сдваивания. Компиляторы и эффективность программ.
Технологии параллельного программирования. Последовательная и параллельные модели. Параллелизм данных.
Проектирование коммуникаций. Парадигмы параллельного программирования. «Обедающие философы», «Стена Фокса».
Планирование сообщений. Нити и процессы. Синхронизация нитей. Операции обмена сообщениями. Критические секции.
Технология параллельного программирования OpenMP. Библиотека, директивы и функции OpenMP.
Как откомпилировать любую последовательную программу с включением опций поддержки технологии OpenMP и запустить ее с использованием нескольких нитей. Сколько нитей будет реально исполнять операторы данной программы?
Организация параллельных вычислений с использованием OpenMP.
Определите, сколько процессоров доступно в вашей системе для выполнения параллельной части программы, и займите каждый из доступных процессоров выполнением одной нити в рамках общей параллельной области.
Инициализация OpenMP. Задание числа нитей.
Может ли программа на OpenMP состоять только из параллельных областей? Только из последовательных областей?
Построение параллельных циклов.
Определите, какое максимальное количество нитей позволяет породить для выполнения параллельных областей программы ваша система.
Создание параллельных секций.
Могут ли функции omp_get_thread_num() и omp_get_num_threads() вернуть одинаковые значения на нескольких нитях одной параллельной области?
Синхронизация параллельных вычислений.
Чем отличается нить-мастер от всех остальных нитей?
В каких случаях может быть необходимо использование опции if директивы parallel?
При помощи трёх уровней вложенных параллельных областей породите 8 нитей (на каждом уровне параллельную область должны исполнять 2 нити). Посмотрите, как будет исполняться программа, если запретить вложенные параллельные области.
Чем отличаются директивы single и master?
Может ли нить-мастер выполнить область, ассоциированную с директивой single?
Может ли нить с номером 1 выполнить область, ассоциированную с директивой master?
Можно ли распределить между нитями итерации цикла без использования директивы for (do ... [end do])?
Можно ли одной директивой распределить между нитями итерации сразу нескольких циклов?
Возможно ли, что при статическом распределении итераций цикла нитям достанется разное количество итераций?
Могут ли при повторном запуске программы итерации распределяемого цикла достаться другим нитям? Если да, то при каких способах распределения итераций?
Для чего может быть полезно указывать параметр chunk при способе распределения итераций guided?
Можно ли реализовать параллельные секции без использования директив sections (sections ... end sections) и section?
Как при выходе из параллельных секций разослать значение некоторой локальной переменной всем нитям, выполняющим данную параллельную область?