12:30-14:05

Классификация систем квазилинейных уравнений с частными производными.
Приводимые системы. Сведение нелинейных задач к задачам, описываемым линейными системами уравнений.
Преобразование граничных условий в задачах обтекания профиля и истечения сжимаемой струи в область пониженного давления. «Закон подлости».
Задача Коши. Метод характеристик. Задача Гурса.
Задача с начальными и граничными условиями. (Смешанная задача)
Временно-подобные и пространственно-подобные направления. Количество граничных условий, выставляемых на временно-подобных и пространственно-подобных кривых.
Слабые разрывы. Распространение по характеристикам.
Уравнения одномерного неустановившегося движения сжимаемой двухпараметрической среды и их характеристическая форма.
Одноэнтропическое плоское неустановившееся течение. Отображение физической плоскости в плоскость годографа. «Потерянные» решения.
Инварианты Римана.
Решение простой волны. Свойства простых волн в нормальном газе. Градиентная катастрофа.
Решение задачи о поршне, движущемся в трубе с положительной и отрицательной скоростью. Теорема О.А.Олейник.
Поверхности сильного разрыва в совершенном газе. Адиабата Гюгонио.
Аналитический метод решения задач о взаимодействии волн.
Лемма о том, что из одной точки в одну сторону может выйти только одна волна.
Встречные и догонные взаимодействия ударных волн и волн разрежения.
Взаимодействия ударных волн с контактными разрывами.
Взаимодействия волн разрежения с контактными разрывами.
Распад произвольного разрыва в совершенном газе. Задача Римана. Задача о сильном взрыве

Понятие волны, волнового процесса. Понятия фазовой скорости, длины, частоты, периода волны, волнового числа и волнового вектора. Понятие плоских, цилиндрических и сферических волн.
Вывод балансовым методом системы уравнений для описания нестационарного течения невязкого нетеплопроводного газа в канале переменного сечения в одномерном приближении.
Преобразование системы уравнений квазиодномерной газовой динамики к виду удобному для линеаризации.
Линеаризация квазиодномерной системы уравнений газовой динамики для течения в канале с неподвижными стенками термически и калорически совершенного газа. Преобразование линеаризованной системы уравнений для случая, когда основное невозмущенное движение газа – состояние покоя.
Вывод волновых уравнений для скорости, давления, плотности газа. Введение потенциала скорости и получение для него волнового уравнения.
Построение общего решения волнового уравнения для случая плоских и сферических волн.
Постановка и решение задачи Коши для волнового уравнения в плоском случае.
Задача Коши для волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод продолжений. Постановка и решение первой и второй краевых задачи.
Интегральные формы записи основных законов сохранения. Вывод интегральной формы записи квазиодномерной системы уравнений газовой динамики.
Линеаризация интегральной системы уравнений квазиодномерной газовой динамики для случая когда основное невозмущенное движение газа – состояние покоя.
Вывод условий на сильном разрыве из линеаризованной интегральной системы уравнений.
Постановка и решение интегрального аналога задачи Коши для волнового уравнения на неограниченной прямой. Постановка и решение интегрального аналога первой краевой задачи для волнового уравнения на полуограниченной прямой .
Определение характеристик как линий распространения разрывов производных решений интегрального аналога волнового уравнения (линии слабого разрыва). Получение кинематических и динамических условий на слабом разрыве.
Определение характеристик как линий слабого разрыва искомых функций исходной линеаризованной системы уравнений квазиодномерной газовой динамики.
Доказательство утверждения о том, что характеристики семейств – это линии в фазовой плоскости, при постановке начальных условий на которых задача Коши как для волнового уравнения, так и для исходной линейной системы уравнений газовой динамики имеет неединственное решение. Условия направлений и условия совместности на характеристиках.
Основы метода u-p диаграмм. Решение методом u-p диаграмм задачи о распаде произвольного разрыва в покоящемся газе.
Инварианты Римана для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики для случая плоской симметрии. Решение задачи Коши для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики при помощи инвариантов Римана.

Уравнение Беллмана
Алгоритм Ховарда
Эргодическое уравнение Беллмана
Эргодический алгоритм Ховарда
Обратные СДУ Парду - Пенга, их связь с задачами стохастического управления

Аналитический подход к решению сложных задач аддитивной теории чисел.
Проблема Варинга и её обобщения.
Проблема Гильберта — Камке.
Тернарная проблема Гольдбаха (для достаточно больших чисел).

Преобразование Уолша булевой функции и его свойства.
Полиномиальные представления булевой функции, их свойства и следствия.
Теорема Симона-Вегенера и следствия из нее.
Регулярные булевы функции и их свойства.
Сложностные характеристики булевой функции и их взаимосвязь.
Деревья решений.
Приложения анализа булевых функций в теории сложности.
Нелинейность булевых функций.
Корреляционно-иммунные и устойчивые булевы функции.
Приложения анализа булевых функций в криптологии.

Линейное 1D уравнение переноса. Характеристики. Постановка граничных условий. Общее решение.
Пример разностной схемы для линейного уравнения переноса. Основные понятия: сетка, сеточные функции, аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о сходимости.
Разностная схема для линейного уравнения переноса. Исследование аппроксимации и устойчивости.
Разностные схемы для линейного уравнения переноса -часть 2. Зависимость от коэффициента . Неявная схема. Условия устойчивости – достаточное условие, признак Неймана.
Разностные схемы 2-го порядка аппроксимации (схема Лакс-Вендроффа). 1-шаговый и 2-шаговый варианты. Аппроксимация и устойчивость (необходимое условие)
Теоремы С.К.Годунова о сохранении монотонности. Задача Римана для линейного уравнения переноса.
Монотонная схема повышенного порядка аппроксимации.
Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Явная и неявная схемы. Устойчивость и аппроксимация.
Метод прогонки для решения систем с 3-диагональной матрицей. Варианты метода. Корректность разностной задачи.
Разностные схемы для 2D уравнения теплопроводности. Явная и неявная схемы. Аппроксимация и устойчивость.
Схемы с расщеплением для 2D уравнения теплопроводности. Аппроксимация, устойчивость, метод решения.
Разностная схема для эллиптического уравнения в прямоугольной области.

Программирование систем с распределенной памятью. Message Passing Interface (MPI).
Попарный обмен сообщениями. Коллективный обмен сообщениями.
Примеры параллельных программ для систем с распределенной памятью.
Методы построения триангуляции двумерных областей. Метод наименьших квадратов. Общая схема построения матрицы системы для базиса из функций Куранта.
Разреженные матрицы и методы их хранения в оперативной памяти. Пример подпрограммы умножения разреженной матрицы в формате MSR на вектор.
Общий вид одношаговых итерационных методов. Автоматический выбор итерационного параметра. Понятие предобуславливателя.
Подпрограмма заполнения разреженной матрицы для метода наименьших квадратов в прямоугольнике для систем с общей памятью.
Метод конечных элементов. Общая схема построения матрицы системы для задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Внутренняя организация процессоров. Повышение производительности процессоров за счет введения кэш памяти. Согласование кэшей в мультипроцессорных
системах с общей памятью.
Виды многопроцессорных архитектур. Системы с неоднородным доступом к памяти. Общее строение современных кластерных систем.
Механизмы взаимодействия процессов. Виды ресурсов. Управление процессами. Межпроцессное взаимодействие.
Управление потоками. Виды объектов синхронизации и основные функции работы с ними.
Организация пула динамической памяти в многопоточных программах и поддержка неоднородного доступа к памяти.
Примеры параллельных программ для систем с общей памятью.

Постановка задачи максиминного тестирования в экстремальных ситуациях. Виды стратегий и технология тестирования. Структурная схема тестирующего стенда.
Постановка задачи тестирования точности стабилизации для программных стратегий. Редукция к геометрическим играм.
Свойства множеств достижимости для линейной системы. Формулировки экстремальных задач в терминах множеств достижимости. Пример построения множества достижимости в задаче движения материальной точки по прямой под действием ограниченной по величине силы.
Выпуклая оболочка множества в .  Ее свойства. Свойства опорной функции выпуклого множества. Опорная гиперплоскость. Теорема  о  представлении выпуклой оболочки множества. Пример построения опорной функции для эллипсоида
Сопряженные множества. Отделимость. Проекция точки на выпуклое множество. Ее свойства. Теорема  о тупом угле
Алгоритм построения множества достижимости линейной управляемой системы.
Задача Булгакова о максимальном отклонении. Алгоритм ее решения.
Проекция точки на выпуклое множество. Численный алгоритм решения задачи проектирования.
Алгоритм построения выпуклой оболочки множества достижимости для нелинейной управляемой системы. Метод Крылова-Черноусько.
Седловые точки дифференциальной игры. Их свойства. Алгоритм поиска седловой точки для программных стратегий линейной дифференциальной игры.
Позиционные стратегии в задачах управления и дифференциальных играх. Пример вычисления функции Беллмана для  управляемой системы 2-го порядка.  
Гладкий потенциал. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса. Пример решения  ур-я Беллмана-Айзекса для линейной системы 4 порядка.
Отсутствие гладкости функции Беллмана в задаче быстродействия. Пример
Существование седловой точки дифференциальной игры с выпуклым функционалом качества  в позиционных стратегиях.
Метод экстремального прицеливания Н.Н.Красовского построения позиционных стратегий.
Модификация метода «экстремального прицеливания» для регулярной дифференциальной игры. Пример многоэкстремальности опорной функции множества достижимости управляемой системы.
Аппроксимация множества достижимости эллипсоидами. Вычисление седловой точки в геометрической игре для двух эллипсоидов.

Сдвиговой характер пластических деформаций металлов. Диаграмма упруго-пластического деформирования. Свойства пластичности (эффект Баушингера, упрочнение металлов). Характеристики напряженного состояния в пространстве главных напряжений. Вид напряженного состояния (параметр Лодэ-Надаи).
Поверхность нагружения. Постулат Друккера. Постулат Ильюшина. Принцип максимума мощности диссипации. Основное неравенство пластичности.
Ассоциированный закон пластического течения для гладкой поверхности нагружения. Кинематическое и изотропное упрочнение.
Ассоциированный закон пластического течения в конической точке поверхности. Полная и неполная догрузка. Теория Сандерса.
Деформационная теория пластичности. Основные гипотезы. Определяющие соотношения.
Идеальная пластичность. Критерии Треска и Мизеса. Различные формы представления критерия Мизеса. Ассоциированный закон пластического течения. Определяющие уравнения.
Постановка краевых задач и общие теоремы в деформационной теории пластичности. Аналоги вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно.
Постановка краевых задач в теории течения упрочняющегося упруго-пластического материала. Общие теоремы. Кинематически возможные поля скоростей и статически допустимые поля напряжений.
Жесткопластическое тело. Постановка задачи. Теоремы о верхней и нижней предельной нагрузке. Примеры применения предельных теорем для верхней и нижней предельной нагрузки (поперечный изгиб, кручение трубы).
Кручение упругопластических стержней. Постановка задачи, общие уравнения. Стержень из упрочняющегося материала. Метод упругих решений.
Стержень из идеально-пластического материала. Предельный момент. Метод «песчаной» аналогии Надаи.