16:45-18:20

Понятие турбулентности. Примеры турбулентных течений. Признаки турбулентных течений. Перемежаемость и когерентные структуры. Методы измерений скорости в турбулентных потоках. Средние и пульсационные характеристики.
Переход к турбулентности. Причины ламинарно-турбулентного перехода. Теория устойчивости. Линейная устойчивость течений Пуазейля в плоском канале и в круглой трубе. Сценарии перехода к турбулентности в свободных течениях. Сценарии перехода к турбулентности в пограничном слое. Методы затягивания и интенсификации перехода.
Характеристики турбулентности. Турбулентные вихри, максимальный и минимальный масштабы. Статистическое описание. Методы осреднения: по Рейнольдсу, по пространству (фильтрация), по фазе. Коэффициенты корреляции, энергетические спектры. Интегральные масштабы. Каскадный процесс.
Обзор методов расчёта турбулентных течений. Классификация методов расчёта: DNS, LES, RANS. Возможности и характеристики различных подходов. Подсеточные модели. Полуэмпирические модели. Гибридные методы.
Уравнения Рейнольдса. Осреднение по Рейнольдсу и по Фавру. Уравнения Рейнольдса для несжимаемой жидкости и для сжимаемого газа. Уравнения для Рейнольдсовых напряжений. Уравнение переноса кинетической энергии турбулентности. Модели турбулентности. Проблемы полуэмпирических моделей. Гипотеза Буссинеска, турбулентная вязкость.
Однородная изотропная турбулентность. Экспериментальные данные. Теория однородной изотропной турбулентности. Масштабы турбулентности и энергетические спектры. Формула Кармана. Динамическое уравнение энергетического спектра. Каскадный процесс Колмогорова-Ричардсона. Гипотезы Колмогорова. Выбор разностной схемы в методах LES и RANS.
Свободная сдвиговая турбулентность. Свободные сдвиговые течения. Двойная структура турбулентности. Когерентные структуры. Слой смешения. Устойчивость и сценарии перехода. Затопленная струя (плоская и круглая). Устойчивость и сценарии перехода. Управление переходом.
Пристенные течения. Характеристики ламинарного и турбулентного пограничного слоя. Внутренняя и внешняя области турбулентного погранслоя. Калибровка моделей турбулентности. Полуэмпирические и подсеточные модели. Течения в трубах и каналах.
Полуэмпирические модели турбулентности. История развития. Классификация моделей. Алгебраические модели. Дифференциальные модели. Модели с одним уравнением: модель Спаларта-Алмареса, модель Секундова. Модели с двумя уравнениями: k-ε и k-ω, модель Ментера SST. Модели рейнольдсовых напряжений. Моделирование перехода.
Примеры применения моделей турбулентности. Присоединённые течения. Отрывные течения. Обтекание профилей при больших углах атаки и в трансзвуковых режимах. Течения вдоль углов с образованием вторичных течений. Нелинейные модели.
Некоторые особенности применения моделей турбулентности. Требования к расчётным сеткам. Граничные условия на твёрдых стенках. Пристенные функции. Условия в набегающем потоке. Эффекты кривизны и вращения.

Функционал объёма. Первая вариация функционала объёма. Минимальные подмногобразия.
Вторая вариация функционала объёма, ее индекс.
Функционал энергии. Первая вариация функционала энергии. Гармонические отображения.
Вторая вариация функционала энергии, ее индекс.
Минимальные поверхности.
Гармонические отображения поверхностей. Гармоничность и голоморфность.
Связь с оператором Лапласа.
Формулы типа Бохнера.

Двойственность в локально выпуклых пространствах.
Слабые и сильные топологии. Топология Макки.
Алгебра цилиндрических множеств.
Цилиндрические меры и цилиндрические функции. Интегрирование.
Простейшие свойства цилиндрических мер.
Преобразование Фурье цилиндрических мер.
Теорема Минлоса-Сазонова.
Достаточные топологии для счетной аддитивности цилиндрических мер.
Цилиндрические гауссовские меры.
Теорема Ферника.
Мера Винера.
Теорема Вика.
Диаграммная техника Фейнмана для вычисления гауссовских интегралов.
Сведение нахождения гауссовских интегралов к вычислению по связным диаграммам.
Дифференцирование мер по направлениям. Свойства гладких мер.
Обобщенные меры.
Различные определения функциональных интегралов.
Нахождение функциональных интегралов посредством преобразования Фурье.
Классы интегрируемых функционалов по обобщенной мере Фейнмана.
Формула Троттера и теорема Чернова.
Представление решения уравнения Шредингера в виде интеграла по траекториям в конфигурационном пространстве.
Решение уравнения Шредингера с помощью интегралов по траекториям в фазовом пространстве.
Нелинейные преобразования в функциональных интегралах.
Возникновение разрывных траекторий при нелинейных преобразованиях.
Перепараметризация в интегралах по траекториям.
Асимптотические свойства интегралов по траекториям.
Квазиасимтотические разложения интегралов по траекториям.
Вычисление функциональных интегралов методом теории возмущений.
Применение фейнмановских диаграмм в теории возмущений.
Нахождение функциональных интегралов методом Бореля.
Приближенные вычисления функциональных интегралов.

Некоторые применения степени: сюръективность отображения ненулевой степени. Теорема Гаусса. Степень комплексного рационального отображения сферы в себя. Группа мебиусовых преобразований ; ее подгруппы SL(2, R) и SL(2, Z), образующие последней.
Индекс особой точки векторного поля и индекс неподвижной точки отображения. Примеры вычисления. Индекс критической точки градиентного векторного поля функции Морса.
Гауссово отображение подмногообразия коразмерности 1 в R^q. Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля в области с гладкой границей в R^q.
Теорема Хопфа о сумме индексов векторного поля на компактном гладком многообразии. Некоторые следствия.
Теорема о существовании поля с одной особой точкой на любом компактном многообразии. Существование полей без особых точек на многообразиях нечетной раз-
мерности.
Теорема Хопфа о деформации отображения межу двумя замкнутыми ориентируемыми многообразиями в отображение с числом прообразов равным степени отображения.
Теорема Хопфа о гомотопности отображений гладкого ориентируемого многообразия в сферу в сферу той же размерности.
Гомотопические группы. Определения, коммутативность операции, действие фундаментальной группы. Роль базисной точки.
Индуцированное отображение гомотопических групп. Группы накрытия. Гомотопические группы многообразий размерности 1 и 2.
Гомоморфизм Гуревича.
Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары. Одно применение : точная последовательность расслоения.
Пример применения (расслоение сферы над кватернионным проективным пространством)
Отображение надстройки. Теорема Фрейденталя.
Конструкция Понтрягина, оснащенный бордизм.
Теорема Понтрягина о гомотопии и оснащенной кобордантности. Гомологический инвариант оснащенных многообразий размерности 1 в сфере. Группа π_n+1(S^n).

Вводная лекция и иллюстрация методов дифференциальной топологии на примере доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке.
Ревизия теоремы Сарда-Дубовицкого и теоремы Уитни
Следствие теоремы Уитни : существование римановой метрики ; аппроксимация
непрерывного отображения между гладкими многообразиями гладким отображением.
Отступление : размерность Лебега-Чеха и объяснение универсальности размерности 2m + 1 в теореме Уитни.
Регулярная трубчатая окрестность подмногообразия в R^q. Доказательство теоремы аппроксимации. Гомотопность отображений достаточно близких к данному.
Функция расстояния до точки в R^q. Фокальные точки для подмногообразия. Определение функций Морса и их существование.
Индекс и дефект изолированой критической точки гладкой функции. Лемма Адамара и лемма Морса. Структура критических точек функций Морса.
Примеры функций Морса : на проективных пространствах. Возмущение гладкой фунции на подмногообразии с помощью линейной функции. Плотность функций Морсва в пространстве гладких функций.
Существование векторных полей с изолированными особыми точками.
Теорема Риба. Однопараметрические группы диффеоморфизмов и векторные поля.
Доказательство теоремы Риба.
Ориентация: определения и примеры. Эквивалентность различных определений
ориентируемости. Ориентируемость односвязных многообразий.
Ориентация многообразий с краем. Двулистное ориентирующее накрытие.
Степень отображения над Z. Независимость от выбора регулярного значения. Примеры.
Степень mod2. Кобордизмы, инвариантность степени кобордантных отображений. Общие свойства степени : инвариантность при гомотопии, степень композиции
отображений.

Язык программирования Python, библиотеки numpy, scipy
Построение графиков в Python, библиотека matplotlib
Символьные вычисления, библиотека sympy
Вычисление корней уравнения, различные методы интерполяции
Методы вычисления определенного интеграла
Анализ данных, библиотека pandas
Логистическая регрессия
Линейная регрессия

Введение в архитектуру ЭВМ.
16-битная виртуальная ЭВМ. Регистры процессора и их назначение. Машинный код и его представление. Формат команд ассемблера. Синтаксис и структура программы.
Базовые команды и операции. Арифметические операции. Логические операции. Команды пересылки данных. Организация переходов и циклов.
Работа с памятью и данными. Организация стека. Работа с массивами. Обработка строк.
Настоящий ассемблер x86. Синтаксис и структура программы. Методы адресации.
Системные вызовы. Работа с файлами. Взаимодействие с операционной системой.
Настоящий ассемблер ARM. Синтаксис и структура программы. Методы адресации. Системные вызовы. Работа с файлами. Взаимодействие с операционной системой.

Симметрические степени топологических пространств. Косетные и бикосетные n-значные топологические группы. Полная ассоциативность n-значных групп.
Конструкция удвоения и косетные 2^{n-1}-значные топологические группы на сферах S^n.
Косетные 2^{n-1}-значные группы на RP^n для нечетных n.
Симметрические степени компактных римановых поверхностей.
Классификация В.М.Бухштабера-А.П.Веселова-А.А.Гайфуллина инволютивных двузначных групп.
Симметрические степени CW-комплексов: классическое вычисление фундаментальной группы.
nH-пространства. Инвариантность относительно ретракций. Гомотопическая инвариантность понятия nH-пространства.
n-гомоморфизмы градуированно коммутативных алгебр. Рекурсия Фробениуса. Сумма n-гомоморфизма и m-гомоморфизма есть (n+m)-гомоморфизм.
n-предалгебры Хопфа. Классификация Лере-Хопфа 1-предалгебр Хопфа (= предалгебр Хопфа) над полем нулевой характеристики.
Теорема о групповом трансфере для симплициальных действий конечных групп.
Рациональное кольцо когомологий симметрических степеней счетных CW-комплексов и лемма целочисленности Накаоки. Связь с n-гомоморфизмами.
Любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2H-пространствами.
Наличие структуры nH-пространств на конечных СW-комплексах, имеющих совершенную фундаментальную группу.
Открытые вопросы.