16:45-18:20

Основные параметры кодов и связывающие их оценки.
Изометрические преобразования пространства Хэмминга. Теорема А.А. Маркова. Теорема Мак-Вильямс о продолжении изометрий линейных кодов.
Линейные коды. Проверочная матрица, гарантируемый ранг и расстояние линейного кода над полем.
Построение новых кодов из заданных: добавление констант, добавление проверки на чётность, расширение кода, декартово произведение кодов, тензорное произведение кодов, гибридный код, увеличение размерности с сохранением расстояния, уменьшение длины кода. Двойственные коды.
Основные понятия теории колец и модулей. Локальные кольца. Разложение конечного коммутативного кольца в прямую сумму локальных колец. Аннуляторы идеала в модуле и подмодуля в кольце. Радикал Джекобсона конечного коммутативного кольца и цоколь модуля, связь между ними.
Модуль характеров конечного модуля. Инъективные модули. Критерий Бэра. Инъективность модуля характеров. Квазифробениусов модуль, существование и единственность с точностью до изоморфизма. Характеризация квазифробениусовых модулей с помощью различающих характеров.
Коды над квазифробениусовым модулем, двойственность между кодами над кольцом и кодами над квазифробениусовым модулем. Общая весовая функция линейного кода над кольцом и над модулем. Тождество Мак-Вильямс для линейных кодов над кольцом и над квазифробениусовым модулем.
Пространство последовательностей над кольцом как модуль над кольцом многочленов. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП). Порождающие элементы модуля ЛРП.
Минимальный многочлен ЛРП над полем и его свойства. Аннулятор ЛРП. Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами.
Общие свойства и параметры периодических последовательностей. Периодичность ЛРП над конечным кольцом. Периоды многочленов и ЛРП над полем. Вычисление периода неприводимого многочлена и произвольного многочлена над полем по его каноническому разложению. Существование и свойства ЛРП максимального периода над конечным полем. 

Неявная выразимость. Параметрическая выразимость. Неэквивалентность неявной и
параметрической выразимости в P_k при k ⩾ 3.
Рефлексивность и монотонность оператора неявной выразимости. Цепочка вложений операторов выразимости.
Классы сохранения матриц и предикатов.
Централизаторы и бицентрализаторы. Централизатор как класс сохранения предиката.
Описание 25 параметрически замкнутых классов в P_2.
Эквивалентность неявной и параметрической выразимости в P_2.
Минимальные неявно полные классы без констант в P_3.
Критерий неявной полноты в P_k.

Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Теоремы Энгеля и Ли.
Полупростые алгебры Ли. Критерии Картана разрешимости и полупростоты
Теорема Вейля о представлениях полупростых алгебр. Теорема Леви.
Подалгебры Картана.