Некорректные задачи аэрогидродинамики
Название спецкурса на английском языке
Ill problems of aerohydrodynamics
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра аэромеханики и газовой динамики]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Корректная постановка задач, пример Адамара. Основные метрики и их роль.
Математические примеры некорректных задач.
Системы линейных уравнений.
Интегральное уравнение Фредгольма I-рода.
Суммирование рядов Фурье.
Обратные задачи геофизики и аэродинамики. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
Квазирешения. Существование квазирешения на компакте.
Условия регуляризации. Условно-корректные задачи.
Регуляризирующие операторы. Регуляризирующий алгоритм.
Обратная задача для уравнения теплопроводности.
Уравнения газовой динамики в физической плоскости и на плоскости годографа. Вывод уравнений на плоскости потенциала
Прямая задача для крылового профиля. Решение с помощью конформного отображения. Проблема единственности решения. Условие Жуковского-Чаплыгина
Обратная задача для крылового профиля. Условия регуляризации Лайтхилла для несжимаемого случая.
Интегральные формулы Шварца и Гильберта, метод проектирования Лайтхилла.
Постановка обратной задачи на плоскости потенциала. Обеспечение замкнутости профиля.
Метод последовательных приближений к квазирешению обратной задачи для крыловых профилей.
Постановка прямой и обратной задачи для сопла на физической плоскости и на плоскости потенциала.
Регуляризирующий алгоритм обратной задачи для сопла.
Математические примеры некорректных задач.
Системы линейных уравнений.
Интегральное уравнение Фредгольма I-рода.
Суммирование рядов Фурье.
Обратные задачи геофизики и аэродинамики. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
Квазирешения. Существование квазирешения на компакте.
Условия регуляризации. Условно-корректные задачи.
Регуляризирующие операторы. Регуляризирующий алгоритм.
Обратная задача для уравнения теплопроводности.
Уравнения газовой динамики в физической плоскости и на плоскости годографа. Вывод уравнений на плоскости потенциала
Прямая задача для крылового профиля. Решение с помощью конформного отображения. Проблема единственности решения. Условие Жуковского-Чаплыгина
Обратная задача для крылового профиля. Условия регуляризации Лайтхилла для несжимаемого случая.
Интегральные формулы Шварца и Гильберта, метод проектирования Лайтхилла.
Постановка обратной задачи на плоскости потенциала. Обеспечение замкнутости профиля.
Метод последовательных приближений к квазирешению обратной задачи для крыловых профилей.
Постановка прямой и обратной задачи для сопла на физической плоскости и на плоскости потенциала.
Регуляризирующий алгоритм обратной задачи для сопла.
Список источников
Mangier W. Die Berechnung eines Tragflugelprofiles mit vorgeschriebener Druckverteiiung //Deutsche Luftfahrtvorschung. Jahrbuch. 1938. S. 146-153.
Lighthill M. J. A new method of two-dimensional aerodynamic design
//British Aeronaut. Res. Council. R&M. 1945. № 2112. P. 1-44.
Тумашев Г. Г. Построение профилей по заданному распределению скоростей
//Тр. Казан, авиац. ин-та. 1946. № 7. С. 19-22.
Тихонов А.Я., Арсения В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука, 1986. 287 с.
Елизаров А. М., Ильинский Я. Б., Поташев А. В. Построение крыловых профилей методом квазирешений обратных краевых задач//Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 3. С. 5-13.
Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики
/Итоги науки и техники. Мех. жидкости и газа. ВИНИТИ. Т. 23. 1989. С. 3-115.
Шагаев А. А. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме чисел Маха в трансзвуковом потоке//Уч. зап. ЦАГИ. 1984. Т. 15. № 4. С. 15-23.
Volpe G., Melnik R. E. The role of constraints in the inverse design problem for transonic airfoils//AIAA Journal. 1984. V. 22. № 12. P. 1770-1778.
Volpe G., Melnik R. E. Method for designing closed airfoils for arbitrary supercritical speed distributions//Aircraft. 1986. V. 23. № 10. P. 775-782.,
Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. M.: Физматгиз, 1962. 512 с.
Daripa P. An exact inverse method for subsonic flows//Quart. Appl. Math. 1988. V. 46. № 3.
P. 505-526.
Котелкин В. Д. О построении аэродинамических профилей//Вест. МГУ. 1991. № 5. С. 86-88.
Котелкин В.Д. Обратная задача гидродинамики при выборе декартовых координат в качестве зависимых переменных. Изв. РАН, Механ. жидкости и газа, № 1, 1994. С. 147-157.
Тихонов А. Я., Самарский А. А. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1977. 735 с.
Norstrud Я. The transonic aerofoil problem with embedded shocks//Aeronaut. Quart. 1973. V. 24. № 2. P. 129-138.
Giles M., Drela M. A two-dimensional transonic aerodynamic design method//AIAA 4th Appl. A
Пирумов У.Г. Обратная задача теории сопла. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.
Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 424 с.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 208 с.
Lighthill M. J. A new method of two-dimensional aerodynamic design
//British Aeronaut. Res. Council. R&M. 1945. № 2112. P. 1-44.
Тумашев Г. Г. Построение профилей по заданному распределению скоростей
//Тр. Казан, авиац. ин-та. 1946. № 7. С. 19-22.
Тихонов А.Я., Арсения В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука, 1986. 287 с.
Елизаров А. М., Ильинский Я. Б., Поташев А. В. Построение крыловых профилей методом квазирешений обратных краевых задач//Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 3. С. 5-13.
Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики
/Итоги науки и техники. Мех. жидкости и газа. ВИНИТИ. Т. 23. 1989. С. 3-115.
Шагаев А. А. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме чисел Маха в трансзвуковом потоке//Уч. зап. ЦАГИ. 1984. Т. 15. № 4. С. 15-23.
Volpe G., Melnik R. E. The role of constraints in the inverse design problem for transonic airfoils//AIAA Journal. 1984. V. 22. № 12. P. 1770-1778.
Volpe G., Melnik R. E. Method for designing closed airfoils for arbitrary supercritical speed distributions//Aircraft. 1986. V. 23. № 10. P. 775-782.,
Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. M.: Физматгиз, 1962. 512 с.
Daripa P. An exact inverse method for subsonic flows//Quart. Appl. Math. 1988. V. 46. № 3.
P. 505-526.
Котелкин В. Д. О построении аэродинамических профилей//Вест. МГУ. 1991. № 5. С. 86-88.
Котелкин В.Д. Обратная задача гидродинамики при выборе декартовых координат в качестве зависимых переменных. Изв. РАН, Механ. жидкости и газа, № 1, 1994. С. 147-157.
Тихонов А. Я., Самарский А. А. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1977. 735 с.
Norstrud Я. The transonic aerofoil problem with embedded shocks//Aeronaut. Quart. 1973. V. 24. № 2. P. 129-138.
Giles M., Drela M. A two-dimensional transonic aerodynamic design method//AIAA 4th Appl. A
Пирумов У.Г. Обратная задача теории сопла. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.
Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 424 с.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 208 с.
День недели
среда
Время
20:15-21:50
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Дополнительные главы математической кибернетики
Название спецкурса на английском языке
Additional chapters of mathematical cybernetics
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
аспиранты
Подразделение
[Кафедра МаТИС]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2025/26
Список тем
Понятие алгоритма и вычислимой функции, перечислимого и разрешимого множества.
Универсальная вычислимая функция. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.
Определение вычислимости в теоретико-множественных терминах (например, вычислимость по Тьюрингу). Тезис Тьюринга-Чёрча.
Сложность вычисления. Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи выполнимости булевых формул (3-выполнимость)
Понятие алгоритма и вычислимой функции, перечислимого и разрешимого множества.
Универсальная вычислимая функция. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.
Определение вычислимости в теоретико-множественных терминах (например, вычислимость по Тьюрингу). Тезис Тьюринга-Чёрча.
Сложность вычисления. Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи выполнимости булевых формул (3-выполнимость)
Линейное программирование. Симплекс-метод. Двойственные задачи линейного программирования, теоремы о сильной/слабой двойственности.
Задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП). Метод ветвей и границ, метод Гомори. Примеры и решение Задачи ЦЛП: Транспортная задача. Задача о назначениях, венгерский алгоритм. Задача коммивояжера.
Задача распределения ресурсов. Принцип выравнивания Гермейера.
Метод динамического программирования. Принцип Беллмана. Примеры задач. Алгоритмы Нидлмана-Вунша и Смита-Ватермана
Потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм нахождения максимального потока. Теорема о целочисленности. Теорема Кенига-Эгервари. Теорема Холла. Теорема Дилуорса.
Модель межотраслевого баланса В. В. Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц.
Динамическая модель Леонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Перрона.
Теоремы о неподвижных точках (Брауэра, Какутани). Модель Вальраса. Модель Эрроу—Дебре. Конкурентное равновесие. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к решению задачи допол
Универсальная вычислимая функция. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.
Определение вычислимости в теоретико-множественных терминах (например, вычислимость по Тьюрингу). Тезис Тьюринга-Чёрча.
Сложность вычисления. Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи выполнимости булевых формул (3-выполнимость)
Понятие алгоритма и вычислимой функции, перечислимого и разрешимого множества.
Универсальная вычислимая функция. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.
Определение вычислимости в теоретико-множественных терминах (например, вычислимость по Тьюрингу). Тезис Тьюринга-Чёрча.
Сложность вычисления. Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи выполнимости булевых формул (3-выполнимость)
Линейное программирование. Симплекс-метод. Двойственные задачи линейного программирования, теоремы о сильной/слабой двойственности.
Задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП). Метод ветвей и границ, метод Гомори. Примеры и решение Задачи ЦЛП: Транспортная задача. Задача о назначениях, венгерский алгоритм. Задача коммивояжера.
Задача распределения ресурсов. Принцип выравнивания Гермейера.
Метод динамического программирования. Принцип Беллмана. Примеры задач. Алгоритмы Нидлмана-Вунша и Смита-Ватермана
Потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона. Алгоритм нахождения максимального потока. Теорема о целочисленности. Теорема Кенига-Эгервари. Теорема Холла. Теорема Дилуорса.
Модель межотраслевого баланса В. В. Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса—Перрона. Свойства числа Фробениуса—Перрона. Теорема об устойчивости примитивных матриц.
Динамическая модель Леонтьева. Теорема о магистрали Моришимы. Экономическая интерпретация вектора Фробениуса — Перрона.
Теоремы о неподвижных точках (Брауэра, Какутани). Модель Вальраса. Модель Эрроу—Дебре. Конкурентное равновесие. Сведение вопроса о существовании конкурентного равновесия к решению задачи допол
Список источников
Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — 4-е изд., исправленное. — М.: МЦНМО, 2012. — 160 c.
Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 368 с.
Гери М., Джонсон Д., Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982, 416с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3, Основные структуры , 3 изд., М:ФИЗМАТЛИТ, 2004
Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел, Изд-во Моск. ун-та, 1984, 152 стр.
Коблиц Н., Курс теории чисел и криптографии, М.: Науч. изд-во ТВП, 2001, 254 с.
Ван-дер-Варден Б.Л., Алгебра, М.: Мир, 1976. - 648 с.
Винберг Э.Б., Курс алгебры, М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001. 544c.
Бунина Е.И., Лекции по алгебре, 3 сем., 2016–2017 уч. год. Лекция 17 (электронное издание)
http://halgebra.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetch.php/staff:lecture17.pdf
Виноградов И.М. Основы теории чисел, М.-Л., Гостехиздат, 1952. 180 с.
Нестеренко Ю.В., Теория чисел, – М.: Академия, 2008. 272с.
Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 368 с.
Гери М., Джонсон Д., Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982, 416с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3, Основные структуры , 3 изд., М:ФИЗМАТЛИТ, 2004
Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел, Изд-во Моск. ун-та, 1984, 152 стр.
Коблиц Н., Курс теории чисел и криптографии, М.: Науч. изд-во ТВП, 2001, 254 с.
Ван-дер-Варден Б.Л., Алгебра, М.: Мир, 1976. - 648 с.
Винберг Э.Б., Курс алгебры, М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001. 544c.
Бунина Е.И., Лекции по алгебре, 3 сем., 2016–2017 уч. год. Лекция 17 (электронное издание)
http://halgebra.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetch.php/staff:lecture17.pdf
Виноградов И.М. Основы теории чисел, М.-Л., Гостехиздат, 1952. 180 с.
Нестеренко Ю.В., Теория чисел, – М.: Академия, 2008. 272с.
Дополнительная информация
Литература курса доступна для скачивания с Гугл-диска
День недели
среда
Время
20:15-21:50
Аудитория
1403
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Теория колеблемости, блуждаемости и вращаемости
Название спецкурса на английском языке
Oscillation, wandering and rotatability theory
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Частоты скалярной функции: нулей, смен знака, корней, гиперкратных корней. Соотношения между ними.
Частоты решений линейных автономных уравнений. Представление линейного уравнения в форме Пойа-Маммана.
Характеристики колеблемости вектор-функций. Их совпадение для решений автономных систем. Соотношение между ними. Пример несовпадения.
Спектр характеристик колеблемости автономных систем. Распределение их значений в пространстве решений.
Характеристики блуждаемости вектор-функций: скорость блуждания, показатели блуждаемости (сильный и слабый). Оценка скорости блуждания через норму оператор-функции системы.
Спектр характеристик блуждаемости автономных систем. Распределение их значений в пространстве решений.
Показатели вращаемости вектор-функций: ориентированной, неориентированной, частотной. Соотношения между ними.
Теорема Штурма о нулях решений. Совпадение характеристик колеблемости, вращаемости и блуждаемости для линейных уравнений второго порядка.
Грассмановы многообразия. Мера Хаара.
Интегральное представление показателя блуждаемости через частоту. Неравенство между ними.
Замечательное совпадение слабых показателей колеблемости и блуждаемости.
Частоты решений линейных автономных уравнений. Представление линейного уравнения в форме Пойа-Маммана.
Характеристики колеблемости вектор-функций. Их совпадение для решений автономных систем. Соотношение между ними. Пример несовпадения.
Спектр характеристик колеблемости автономных систем. Распределение их значений в пространстве решений.
Характеристики блуждаемости вектор-функций: скорость блуждания, показатели блуждаемости (сильный и слабый). Оценка скорости блуждания через норму оператор-функции системы.
Спектр характеристик блуждаемости автономных систем. Распределение их значений в пространстве решений.
Показатели вращаемости вектор-функций: ориентированной, неориентированной, частотной. Соотношения между ними.
Теорема Штурма о нулях решений. Совпадение характеристик колеблемости, вращаемости и блуждаемости для линейных уравнений второго порядка.
Грассмановы многообразия. Мера Хаара.
Интегральное представление показателя блуждаемости через частоту. Неравенство между ними.
Замечательное совпадение слабых показателей колеблемости и блуждаемости.
Список источников
Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Матем. Мех. 2011. №6. 21-26.
Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. сб., 204:1 (2013), 119-138.
Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем., 76:1 (2012), 149-172.
Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. сб., 204:1 (2013), 119-138.
Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем., 76:1 (2012), 149-172.
Дополнительная информация
Курс основан на совершенно новой (XXI век) теории ляпуновских характеристик колеблемости, блуждаемости и вращаемости решений дифференциальных систем. Обсуждаются определения этих характеристик, их связь с определёнными свойствами решений, соотношения между ними. Разбираются важнейшие частные случаи — характеристики решений автономных систем (когда прослеживается их связь с мнимыми частями собственных значений оператора, за-дающего систему), уравнений произвольного порядка (когда они связаны с частотой нулей решения), уравнений малого порядка (когда все характеристики оказываются одинаковыми).
День недели
пятница
Время
20:15-21:50
Аудитория
1604
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Ляпуновская, перроновская и верхнепредельная устойчивость
Название спецкурса на английском языке
Lyapunov, Perron and upper-limit stability
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра дифференциальных уравнений]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Устойчивость, асимптотическая устойчивость и полная неустойчивость ляпуновского, перроновского и верхнепредельного типов.
Свойства устойчивости в специальных случаях: одномерном, автономном, линейном.
Классы линейных приближений, обеспечивающих различные виды устойчивости и неустойчивости.
Меры устойчивости и неустойчивости.
Радиальная устойчивость и неустойчивость, её связь с мерами устойчивости.
Контрастные сочетания различных свойств устойчивости и неустойчивости.
Свойства устойчивости в специальных случаях: одномерном, автономном, линейном.
Классы линейных приближений, обеспечивающих различные виды устойчивости и неустойчивости.
Меры устойчивости и неустойчивости.
Радиальная устойчивость и неустойчивость, её связь с мерами устойчивости.
Контрастные сочетания различных свойств устойчивости и неустойчивости.
Список источников
Сергеев И.Н. О перроновских, ляпуновских и верхнепредельных свойствах устойчивости дифференциальных систем // Тр. сем. им. И.Г.Петровского, вып. 33, 2023.
Дополнительная информация
Определяются естественные понятия перроновской и верхнепредельной устойчивости нулевого решения дифференциальной системы, а также их многочисленные разновидности: от глобальной до частной устойчивости или неустойчивости и аналоги тех же свойств, распространяющиеся не на все, а на почти все возмущённые решения. Исследуются их логические связи с соответствующими ляпуновскими понятиями и друг с другом, со знаками показателей Перрона, Ляпунова и со специальными индикаторами. Изучаются их специфические особенности для одномерных, автономных и линейных систем. В частности, доказывается независимость большинства этих свойств от фазовой области системы. Обнаруживается полное совпадение возможностей исследования по первому приближению устойчивости и асимптотической устойчивости всех трёх типов. Аналогичное совпадение установлено для частичной и частной устойчивости по первому приближению, а в одномерном случае — сразу для всех перечисленных видов устойчивости, равно как и для всех видов неустойчивости.
День недели
пятница
Время
20:15-21:50
Аудитория
1604
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.