1226а

Векторные поля на многообразиях, теорема о выпрямлении векторного поля. Коммутатор векторных полей. Условия интегрируемости системы типа Майера-Фробениуса. Следствия условий интегрируемости: существование локальных евклидовых координат на римановом многообразии, когда тензор кривизны Римана равен нулю.
Теорема Фробениуса об интегрируемости дифференциальной системы на многообразии. Пример неголономной системы: динамика конька Чаплыгина на наклонной плоскости, механическая интерпретация теоремы Фробениуса.
Примеры задач, приводящих к отображениям, сохраняющим меру. Оператор Купмана. Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина. Следствия теоремы Биркгофа-Хинчина.
Эргодическая теорема Неймана.
Эргодическая теорема Иосиды.
Обобщенная теорема Массера о существовании периодического решения линейной неоднородной системы в банаховом пространстве.
Определение эргодичности. Теорема Каца (без доказательства). Элементарные свойства эргодических систем: всюду плотность траекторий.
Эргодичность в терминах первых интегралов и инвариантных множеств.
Эргодичность квазипериодического потока на торе и треугольного отображения.
Определение полугруппы отображений метрического пространства. Определение ω−предельного множества. Примеры.
Основные свойства ω−предельного множества. Аттрактор. Примеры. Теорема Ла-Салля.
ω−предельное множество в конечномерных системах. Теоремы об устойчивости Красовского и Барбашина-Красовского.
Задача о вложении диффеоморфизма в поток. Метод непрерывного усреднения.
Теорема о вложении диффеоморфизма в поток. Доказательство теоремы о вложении диффеоморфизма в поток: теорема Ниринберга-Нишиды
Негладкие динамические системы. Дифференциальные включения, регуляризация по Филиппову.
Задачи механики с сухим трением.
Расщепление сепаратрис, интеграл Пуанкаре-Мельникова, интеграл Пуанкаре-Мельникова в гамильтоновых системах. Задача о маятнике Уитни и ее обобщения. Метод Важевского. Вариационная задача Лагранжа, брахистохроны в неголономных системах.

Предельные теоремы для сумм зависимых случайных индикаторов
Условные математические ожидания и условные распределения
Неравенства и предельные теоремы для вероятностей больших уклонений
Расстояние по вариации между вероятностными распределениями
Энтропия и теорема о числе высоковероятных цепочек

Группы Ли: определение и примеры. Подгруппы Ли.
Гомоморфизмы, линейные представления и действия.
Орбиты, стабилизаторы. Ядро и образ гомоморфизма. Однопараметрические подгруппы.
Транзитивные действия и эпиморфизм. Многообразие смежных классов и фактор-группа.
Касательная алгебра Ли. Дифференциал гоморфизма групп Ли. Тождество Якоби и присоединенное представление.
Левоинвариантные векторые поля.
Уравнение пути в группе Ли. Экспоненциальное отображение.
Теоремы существования и единственности для гомоморфизмов групп Ли.
Накрывающие гомоморфизмы и фундаментальная группа. Примеры.
Алгебры Ли. Структурные константы. Подалгебра. Идеал. Матричные алгебры Ли. Простая алгебра Ли. Внешняя прямая сумма алгебр Ли.
Убывающий центральный ряд. Производный ряд. Нильпотентная алгебра Ли. Разрешимая алгебра Ли. Примеры.
Теорема Энгеля. Критерий нильпотентности алгебры Ли.
Разрешимый радикал алгебры Ли. Свойства разрешимых идеалов алгебры Ли. Полупростая алгебра Ли.
Теорема Ли.
Симметрическая инвариантная билинейная форма на алгебре Ли. Идеал и его "ортогональное дополнение". Форма Киллинга.

Топологические многообразия. Атласы, гладкие многообразия. Примеры многообразий
Подмногообразия. Примеры диких вложений (дикие узлы, ожерелье Антуана, рогатая сфера Александера)
Полиэдры в евклидовом пространстве, триангуляции, измельчения
Кусочно линейные отображения, локальный критерий невырожденности. PL-многообразия
Теорема о триангулируемости гладких многообразий
Некомбинаторные триангуляции. Гомологические сферы, теорема Эдвардса о двойной надстройке (без доказательства)
Теорема Жордана
Теорема о кусочно линейной аппроксимации гомеоморфизма поверхностей. Триангулируемость топологических 2-многообразий
Теорема Шёнфлиса
Трёхмерные многообразия. Линзы. Разбиение Хегора
Лемма Дена, теоремы Папакирьякопулоса о петле и о сфере
Кусочно линейная аппроксимация в трёхмерном пространстве. Теорема о триангулируемости трёхмерных многообразий
Инвариант Кирби-Зибенманна (обзор)

Подалгебры Картана алгебр Ли, разложение Картана
Системы корней, их классификация в терминах диаграмм Дынкина
Классификация полупростых комплексных алгебр Ли
Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли

Определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса.
Недифференцируемость траекторий винеровского процесса.
Определение условного математического ожидания.
Свойства условного математического ожидания.
Определение неупреждающего (по отношению к данному винеровскому процессу) процесса
Определение винеровского интеграла от неупреждающего процесса.
Лемма об изометрии Ито для винеровского интеграла от неслучайной функции.
Лемма об изометрии Ито для непреждающего процесса.
Определение решения стохастического дифференциального уравнения.
Условия существования и единственности стохастического дифференциального уравнения.
Уравнение Самуэльсона.
Уравнение Орштейна-Улинбека.
Замена переменной в стохастическом дифференциальном уравнении.
«Таблица умножения» Ито.
Решение уравнения Самуэльсона путем логарифмической замены.