Математические проблемы вычислительной механики жидкости, газа и плазмы

В современных иследованиях явлений природы и научно-технических разработках существенную роль играют математическое моделирование, включающее в себя большой объем расчетов с применением высокопроизводительных вычислительных комплексов. Создание и применение моделей и эффективных численных методов в области механики сплошных сред требует понимания их математической природы, что является целью и содержанием предлагаемого курса лекций. Рассматриваемые математические модели основаны на уравнениях гидро- и газодинамики и их обобщении – магнитной газодинамики (МГД), приближенное решение задач с которыми может быть получено только численными методами. Рассмотрены математические основы уравнений, классификация типов систем квазилинейных уравнений, характеристики и соотношения на них, которые способствуют грамотной постановке задач и выбору метода их решения. Разрывные решения – ударные волны вводятся в качестве элемента теории дифференциальных уравнений с помощью понятия обобщенных функций. Методы численного решения задач с разрывами основаны на идее сохранения монотонности решения и излагаются на примере разностной схемы С.К. Годунова, а затем иллюстрируются рядом схем годуновского типа. Уделено внимание возможной симметрии задач, допускающей сокращение числа независимых переменных, и в частности, квазиодномерное приближение, применяемое в исследованиях стационарных течений газа и плазмы в каналах-соплах. Автомодельные задачи математической физики представлены известными задачами о сильном взрыве в газе и о распространении тепла от точечного источника в среде с нелинейной теплопроводностью. Математические модели физики плазмы дополнительно учитывают взаимодействие сплошной электропроводной среды с магнитным полем, что усложняет уравнения, постановку задач и их решение. Рассматриваются две группы моделей. Плазмодинамические - связаны с исследованием течений плазмы в основном на примере плазменных ускорителей большой мощности. Плазмостатические модели распространены в исследованиях, относящихся к разработкам ловушек для удержания плотной горячей плазмы магнитным полем, которые ориентированы на реализацию управляемого термоядерного синтеза. Объект исследований – равновесные конфигурации плазмы ¸их геометрия и параметры удержания. При наличии симметрии задачи о МГД-равновесии сводятся к двумерным краевым задачам с полулинейным эллиптическим уравнением Грэда-Шафранова. Уделяется внимание вопросам устойчивости конфигураций.