Группы автоморфизмов К3-поверхностей и группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского

Связь между группами автоморфизмов K3-поверхностей над полем комплексных чисел C и группами, порожденными отражениями в пространствах Лобачевского, впервые была отмечена в классической работе И.И. Пятецкого-Шапиро и И.Р. Шафаревича (1971), в которой была доказана глобальная теорема Торелли для K3-поверхностей. В частности, в ней авторы доказали, что группа автоморфизмов K3-поверхности над C конечна тогда и только тогда, когда группа автоморфизмов ее решетки Пикара порождена с точностью до конечного индекса отражениями относительно ее элементов с квадратом (−2). Решетка Пикара является гиперболической решеткой над Z и определяет пространство Лобачевского, в котором группа, порожденная отражениями относительно элементов с квадратом (−2), действует дискретно. Незадолго до этого важные результаты про арифметические группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского, получили Э.Б. Винберг и В.С. Макаров. Конечно, обе группы авторов пытались использовать эту связь для описания групп автоморфизмов K3-поверхностей и арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского. Важные результаты были получены в работах В.В. Никулина около 1980 года, то есть через 10 лет.

В настоящее время в этой области получено много результатов, и об этом планируется рассказать в течение курса.