Методы осреднения в физике и механике композитов

ВОПРОСЫ ПО СПЕЦКУРСУ
1. Определение композиционного материала. Представительный объем. Ячейка периодичности. Структурная классификация композитов. Однородные и неоднородные материалы. Изотропные и анизотропные материалы. Типы симметрии упругих свойств. Определяющие соотношения в МДТТ (упругость, линейная вязкоупругость, пластичность.
2. Стержни, полосы, плиты, пластины и оболочки. Трёхмерные тела. Уравнения для описания процессов в однородных и неоднородных телах. Постановка краевых задач в МДТТ.
3. Понятие об эффективных определяющих соотношениях типа <σ>~<ε> и <ε>~<σ>. Постановка первой и второй специальных краевых задач (СКЗ) для вычисления прямых и обратных эффективных определяющих соотношений.
4. Эффективные модули упругости тела. Структурные функции. Уравнения для структурных функций. Выражение эффективных модулей упругости через структурные функции. Теорема о симметрии и положительной определённости эффективных коэффициентов упругости.
5. Решение первой СКЗ для неоднородного по толщине, бесконечного в плане упругого слоя. Явные аналитические формулы для эффективных модулей упругости неоднородного слоя. Вычисление тензора эффективных податливостей, обратного к тензору эффективных модулей упругости неоднородного слоя.
6. Постановка в “перемещениях” и в “напряжениях” задачи об эффективных податливостях. Тензор эффективных податливостей неоднородного упругого тела. Теорема о симметрии и положительной определённости эффективных податливостей. Решение второй СКЗ для вычисления эффективных податливостей неоднородного по толщине бесконечного слоя. Случай слоя, составленного из целого числа периодов структуры.
7. Задача на ячейке для расчёта эффективных модулей упругости композита с периодической структурой. Сведение задачи на ячейке к серии задач классической теории упругости. Случай волокнистого композита с прямоугольной ячейкой периодичности.
8. Приближенные методы расчёта эффективных характеристик, основанные на энергетических методах и задаче Эшелби об одиночном инородном включении в бесконечной однородной среде.
9. Метод малого геометрического параметра Бахвалова-Победри в статической задаче для неоднородного упругого стержня. Метод Бахвалова-Победри в трехмерной статической задаче теории упругости для периодически неоднородного тела. Теория нулевого приближения. Метод Бахвалова-Победри в динамической задаче теории упругости.
10. Метод Горбачева для решения статической краевой задачи неоднородной упругости. Исходная и сопутствующая задачи. Интегральная формула представления решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи. Представление решения исходной задачи в виде ряда по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи. Рекуррентные уравнения для коэффициентов ряда. Связь с методом Бахвалова-Победри в случае композита с периодической структурой.
11. Осреднение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами методом Бахвалова-Победри и методом Горбачева.
12. Интегральные формулы представления решений эллиптических, параболических и гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных с переменными интегрируемыми коэффициентами.