The course outlines the basics of tensor calculus. In particular, some basic questions of tensor algebra, tensor analysis and tensor functions are considered. In addition, unlike traditional courses on tensor calculus, this course focuses on eigenvalue problems for tensors and tensor-block matrices of even rank and their applications in mechanics.
https://istina.msu.ru/courses/22339702/
Тензорная алгебра в трехмерном евклидовом пространстве
Ковариантные и контравариантные семейства базисов. Символы Кронекера и Леви-Чивиты. Дискриминантный тензор. Некоторые свойства символов Леви-Чивиты и компонент дискриминантного тензора. Представление вектора в основном (ковариантном) и взаимном (контравариантном) базисах.
Тензор второго ранга и его базис. Единичный тензор второго ранга. Разложение тензора второго ранга относительно базиса. Мультипликативный базис. Представления тензоров в трехмерном и четырехмерном евклидовых пространствах. Некоторые обобщения на случай риманова пространства.
Определитель тензора второго ранга. Произведение тензоров. Обратный тензор. Тензор алгебраических дополнений. Преобразование компонент тензора. Инварианты тензора второго ранга в трехмерном и четырехмерном пространствах. Главные оси, главные значения тензора второго ранга в трехмерном и четырехмерном пространствах. Тензоры миноров и алгебраических дополнений. Задача на собственные значения для тензора четвертого ранга. Теорема Гамильтона-Кэли. Симметричный, кососимметричный и ортогональный тензоры. Представления тензора суммой шарового тензора и девиатора, а также суммой симметричной и кососимметричной частей.
Полярное разложение тензора. Изотропные тензоры. Изотропные тензоры второго, четвертого и шестого рангов. Задача на собственные значения для симметричного тензора четвертого ранга и ее обобщение на действительные и комплексные тензоры любого четного ранга. Общее представление изотропного, трансверсально-изотропного и ортотропного тензоров четвертого ранга и их собственные значения и тензоры. Канонические представления тензоров четного ранга. Положительно-определенные тензоры четного ранга. Символ анизотропии (структуры) тензора. Классификация положительно-определенных тензоров четвертого ранга. Представление обобщенного закона Гука в базисе собственных тензоров для тензора модулей упругости. Обобщение задачи на собственные значения на тензорно-блочную матрицу и ее применение в механике.
Основы тензорного анализа
Символы Кристоффеля первого и второго рода в трехмерном евклидовом пространстве. Деривационные формулы для базисных векторов и мультипликативных базисов. Основные свойства символов Кристоффеля. Символы Кристоффеля для риманова пространства произвольного измерения.
Набла-оператор Гамильтона. Ковариантные производные от ковариантных и контравариантных компонент тензора первого ранга. Ковариантные производные от компонент тензора любого ранга. Правила ковариантного дифференцирования суммы и произведения тензоров. Дифференциал тензора. Абсолютная производная тензора. Ковариантные производные базисных векторов, мультипликативного базиса, компонент единичного и дискриминантного тензоров. Повторные ковариантные производные. Тензор Римана-Кри¬сто¬ффеля (тензор кривизны) в двумерном, трехмерном и четырехмерном пространствах. Вид тензора кривизны для пространства постоянной гауссовой кривизны. Основные свойства компонент тензора Римана-Кри¬сто¬ффеля. Тождества Ляме и число независимых компонент тензора Римана-Кристоффеля. Тензор Риччи и Эйнштейна. Задача на собственные значения для тензора кривизны в трехмерном и четырехмерном пространствах.
Градиент, дивергенция (расходимость), ротор тензора. Формулы Гаусса-Остро¬град¬ско¬го и Грина. Оператор Лапласа в криволинейных координатах. Тензор-оператор несовместности и об условиях совместности деформации (Сен-Венана). Об уравнениях Бельтрами-Мичелла. Задача на собственные значения для тензора-оператора уравнений движения в перемещениях.
Тензорные функции
Группа симметрии тензора. Матричные функции. Линейная функция тензорного аргумента. Общее определение тензорной функции. Скалярная функция тензорного аргумента. Производная скаляра по тензору. Производная тензора по тензорному аргументу. Изотропная скалярная функция тензора.
Литература
1. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М., изд-во МГУ, 1986. 264 с.
2. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., изд-во ЛКИ, 2010. 664 с.
3. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М., Физматгиз, 1963. 412 с.
4. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М., Наука, 1978. 296 с.
5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980. 512 с.
6. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М., изд-во МФТИ, 1995. 240 с.
7. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М., Наука, 1971. 376 с.
8. Спенсер Э. Теория инвариантов. М., Мир, 1974. 158 с.
9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 1. М., Эдиториал УРСС, 1998. 336 с.
10. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М., Физматгиз, 1962. 284 с.
11. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, т. 1, 1983, 528~с.
12. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления. М.:, Наука, 1965, 424 с.
13. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления. Часть I. М.: ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ. 2007. 86 с.
14. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления. Часть II. М.: ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ. 2007. 93 с.
15. Никабадзе М.У. К задаче о нахождении у тензора четного ранга собственных значений и собственных тензоров// Изв. РАН. Механ. твердого тела 2008. №4. С. 77-94.
16. Nikabadze M.U. On some Problems of Tensor Calculus. I// Journal of Mathematical sciences. V. 161, № 5, 2009. P. 668-697.
17. Nikabadze M.U. On some Problems of Tensor Calculus. II// Journal of Mathematical sciences. V. 161, № 5, 2009. P. 698-733.
18. Рыхлевский Я. "CEIIINOSSSTTUV" Математическая структура упругих тел. М.: Ин-т проблемы механики АН СССР. 1983. Препр. №217. 113 с.
19. Никабадзе М.У., Некоторые вопросы тензорного исчисления с приложениями к механике// Деп. в ВИНИТИ РАН. 05.08.2013. № 231-B2013. 242 с.
20. Никабадзе М.У. К построению собственных тензорных столбцов в микрополярной линейной теории упругости// Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2014. №1. С. 30–39.
21. Никабадзе М.У., О некоторых вопросах тензорного исчисления с приложениями к механике// Современная математика. Фундаментальные направления. 2015. Т. 55. С. 3-194.
http://istina.msu.ru/media/publications/book/e25/00c/10117043/M.U.Nikab…,
http://mi.mathnet.ru/rus/cmfd/v55/p3, http://mi.mathnet.ru/cmfd267,
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=cmfd&paperid=…
22. Nikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics. Journal of Mathematical Sciences, vol. 225, no 1, 194 p. DOI: 10.1007/s10958-017-3467-4
https://istina.msu.ru/publications/article/82581410/
23. Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ. Том 1. Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. М.: 2011, 463 с.