Тригонометрические суммы

Программа спецкурса “Тригонометрические суммы”
1. Равномерное распределение последовательности по модулю
1. Критерий Г.Вейля.
2. Равномерное распределение по модулю 1 последовательности дробных долей кратных иррационального числа, последовательности дробных долей логарифмов чисел Фибоначчи.
3. Неравенство Вейля – Корпута. Признак р.р. mod 1 по первым разностям ∆xn последовательности xn. Р.р. mod 1 дробных долей многочленов без свободного члена с иррациональным коэффициентом.
4. Формула Эйлера суммирования значений гладкой функции по целым числам. Формула Пуассона. Значение величины суммы Гаусса по модулю натурального числа.
5. Метод Хуа-кена оценки полной рациональной тригонометрической суммы.

6. Оценки полной рациональной тригонометрической суммы с учетом арифметических свойств коэффициентов многочлена в экспоненте.
7. Показатель сходимости особого ряда в проблеме Терри (теорема Л.-к. Хуа).
8. Оценка тригонометрического интеграла с многочленом в экспоненте (теорема И.М.Виноградова).
9. Показатель сходимости особого интеграла в проблеме Терри.
10. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Ван дер Корпута о замене тригонометрической суммы на интеграл.
11. Суммы Г.Вейля. Теорема И.М.Виноградова о среднем: лемма “о попаданиях” систем значений специальных чисел в интервалы, лемма о рекуррентном неравенстве.
12. Оценки сумм Г.Вейля для точек, координаты которых являются коэфициентами многочлена в экспоненте. Точки первого и второго классов.


13. Асимптотическая формула для числа решений уравнения Варинга.
14. Оценка функции Харди в проблеме Варинга.
15. Оценка дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой.
16. Теорема Г.И.Архипова о среднем для кратных тригонометрических сумм.
17. Кратные рациональные тригонометрические суммы и кратные тригонометрические интегралы.
18. Оценки кратных тригонометрических сумм: лемма “о кратности пересечения областей”, лемма “о числе решений системы линейных форм”.
19. Асимптотика числа решений многомерных систем диофантовых уравнений.
20. Оценки простейших тригонометрических сумм с простыми числами.