Название спецкурса на русском языке
Некоторые вопросы микрополярной теории тонких тел
Перевод названия курса на английский язык
Some questions of the micropolar theory of thin bodies
Авторы курса
Никабадзе Михаил Ушангиевич
Целевая аудитория
3 курс
4 курс
5 курс
6 курс
Магистранты
Аспиранты
Подразделение
[Кафедра механики композитов]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2022/23
День недели
понедельник
Время
16:45-18:20
Формат проведения
В аудитории
Аудитория
1226б
Аннотация
Предложены различные семейства параметризаций для области тонкого тела, среди которых особое место занимает новая параметризация, заключающаяся в использовании в отличие от классических подходов нескольких базовых поверхностей. Введен аппарат дифференциальных операторов для теорий тонких тел. Рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся тензора Римана–Кристоффеля при новой параметризации, а также приведены тождества Ламе. Сформулирована фундаментальная теорема для области тонкого тела при ее новой параметризации.
Построена теория моментов относительно этих систем полиномов Лежандра и Чебышева. Даны представления уравнений движения, уравнения притока тепла и определяющих соотношений физического и теплового содержаний при рассмотренных параметризациях, а также даны их представления в моментах относительно систем ортогональных полиномов Лежандра и Чебышёва для теорий тонких тел. Выведены граничные и начальные условия в моментах. С помощью развитого метода ортогональных полиномов И.Н. Векуа построены новые варианты теорий термоупругих и термовязкоупругих тонких.
Построены корректирующие слагаемые почти для всех практически возможных случаев граничных условий, которые позволяют удовлетворять граничным условиям на лицевых поверхностях. По полу-обратному методу Сен-Венана с применение системы полиномов Лежандра найдены различные выражения для компонент тензора напряжений, которые удовлетворяют граничным условиям на лицевых поверхностях. Доказана эквивалентность полу-обратного метода Сен-Венана и разложения всех компонент тензора напряжений в ряды по системе полиномов Лежандра.
Найдены тензоры-операторы кофакторов для оператора уравнений движения теории упругости в перемещениях и оператора напряжения, позволяющие расщеплять уравнения и граничные условия. При этом уравнения в случае однородных тел расщепляются всегда, а граничные условия при кусочно-плоской границе. Построен тензорно-блочный матричный оператор кофакторов для тензорно-блочного матричного оператора уравнений движения микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях для изотропных, трансверсально-изотропных и ортотропных однородных сред и получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Расщепленные уравнения получены и для редуцированной среды. Построен тензорно-блочный матричный оператор кофакторов для тензорно-блочного матричного оператора напряжения и моментного напряжения в случае редуцированной среды с кусочно-плоской границей. Из разделенных уравнений получены расщепленные уравнения статической задачи теорий призматических тел постоянной толщины. Из последних систем уравнений в свою очередь выведены уравнения в моментах неизвестных векторов относительно любой системы ортогональных полиномов. Получены уравнения различных приближений (с нулевого по восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышёва. Начиная с первого приближения, системы уравнений распадаются на две системы: одна относительно моментов четных порядков, другая относительно моментов нечетных порядков неизвестной векторной функции. В силу найденного оператора кофакторов для оператора любой из этих систем для каждого момента неизвестной векторной функции получается уравнение эллиптического типа высшего порядка.
Приведены численные решения задач различных приближений о тонком теле с двумя малыми размерами и прямоугольной тонкой плоской области с защемленными краями при различных нагрузках, а также о двухслойной двумерной области с защемленными краями.

I. Новая параметризация области тонкого тела (НПОТТ) трехмерного евклидова пространства

1. Векторное параметрическое уравнение области тонкого тела.
2. Двухмерные и трехмерные семейства реперов (базисов). Фундаментальные матрицы. Мультипликативные базисы.
3. Различные семейства символов Кристоффеля. Деривационные формулы для мультипликативных базисов.
4. Представления изотропных тензоров второго и четвертого ранга.
5. Ковариантная производная от компонент тензоров в различных базисах при новой параметризации.
6. Связь между различными семействами мультипликативных базисов, а также различными семействами символов Кристоффеля.
7. Связи между компонентами и ковариантными производными от компонент тензора.
8. Компоненты единичного тензора второго ранга (ЕТВР). Основные компоненты ЕТВР и число независимых основных компонент ЕТВР.
9. Представления компонент ЕТВР через его основные компоненты переноса при различных семействах параметризации области тонкого тела.
10. Выражение различных семейств символов Кристоффеля через основные компоненты ЕТВР.
11. Выражение семейств символов Кристоффеля относительно базисов, связанных с лицевыми поверхностями, через основные компоненты ЕТВР.
12. Выражение Sg-семейства символов Кристоффеля через основные компоненты ЕТВР.
13. Представление компонент вторых тензоров поверхностей посредством основных компонент ЕТВР.
14. Представление компонент второго тензора поверхности S посредством основных компонент ЕТВР.
15. Представление компонент вторых тензоров лицевых поверхностей посредством основных компонент ЕТВР.
16. Представление средних и гауссовых кривизн поверхностей посредством основных компонент ЕТВР.
17. Представления компонент переноса и компонент ИТВР в виде степенных рядов относительно поперечной координаты.
18. Фундаментальная теорема для области тонкого тела в R3 при ее новой параметризации.

II. Некоторые вопросы из теории ортогональных полиномов Лежандра и Чебышёва

1. Производящая функция, основные и некоторые дополнительные рекуррентные формулы полиномов Лежандра на сегментах [-1,1] и [0,1]. Норма полиномов Лежандра.
2. Производящая функция, основные и некоторые дополнительные рекуррентные соотношения для полиномов Чебышёва второго рода на сегментах [-1,1] и [0,1]. Норма для полиномов Чебышёва второго рода.
3. Некоторые основные теоремы о разложении функции в ряды Фурье-Лежандра и Фурье-Чебышёва.

III. Элементы теории моментов относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода
1. Определение момента скалярной функции (тензорной величины) k-го порядка относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода.
2. Моменты k-го порядка первых и вторых производных от скалярной функции относительно полиномов Лежандра.
3. Моменты k-го порядка первых и вторых производных от скалярной функции относительно полиномов Чебышёва второго рода.
4. Моменты k-го порядка производной скалярной функции любого порядка по третьей (поперечной) координате относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода.
5. Представления и момент k-го порядка градиента от тензора относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода.
6. Представления и момент k-го порядка повторного градиента от тензора относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода.
7. Представления и моменты k-го порядка дивергенции и ротора от тензора относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода.
8. Представления и момент k-го порядка градиента дивергенции от тензора относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода.
9. Представления и момент k-го порядка оператора Лапласа от тензора относительно полиномов Лежандра и Чебышёва второго рода.

IV. Представления основных уравнений и определяющих соотношений механики деформируемого твердого тела (МДТТ) для теории тонких тел. Граничные и начальные условия. Постановки задач

1. Представления уравнений движения микрополярной МДТТ при новой параметризации области тонкого тела (НПОТТ).
2. Представления определяющих соотношений (обобщенного закона Гука) микрополярной теории упругости при НПОТТ.
3. Уравнений движения и обобщенный закон Гука классической теории упругости при НПОТТ.
4. Представление уравнения в перемещениях и вращениях микрополярной теории упругости анизотропного и изотропного материалов при НПОТТ.
5. Кинематические и статические граничные условия, а также начальные условия в математической теории тонких тел при НПОТТ.
6. Постановки первой, второй и смешанной начально-краевых задач в математической теории тонких тел при НПОТТ.
7. Система уравнений микрополярной механики деформируемого твердого тела (МДТТТ) в моментах контравариантных составляющих тензоров напряжений и моментных напряжений относительно полиномов Чебышева второго рода при НПОТТ.
8. Система уравнений нулевого приближения в моментах микрополярной МДТТТ относительно полиномов Чебышева второго рода при НПОТТ.
9. Система уравнений первого приближения в моментах микрополярной МДТТТ относительно полиномов Чебышева второго рода при НПОТТ.
10. Системы уравнений движения нулевого и первого приближений в моментах относительно системы полиномов Лежандра без учета граничных условий физического содержания на лицевых поверхностях при НПОТТ.
11. Системы уравнений движения нулевого и первого приближений в моментах относительно системы полиномов Лежандра с учетом граничных условий физического содержания на лицевых поверхностях при НПОТТ.
12. Системы уравнений в перемещениях и вращениях нулевого и первого приближений в моментах для анизотропного и изотропного упругих однородных материалов при НПОТТ.
13. Системы уравнений движения в моментах относительно полиномов Чебышева приближений (0,N) и (1,N) при НПОТТ.
14. Системы уравнений движения в моментах относительно полиномов Лежандра без учета граничных условий на лицевых поверхностях приближений (0,N) и (1,N) при НПОТТ.
15. Системы уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра с учетом граничных условий на лицевых поверхностях приближений (0,N) и (1,N) при НПОТТ.
16. Определяющие соотношения микрополярной теории упругости в моментах относительно системы ортонормированных полиномов Чебышева второго рода.
17. Определяющие соотношения микрополярной теории упругости в моментах относительно системы полиномов Лежандра.
18. Кинематические и статические граничные условия, а также начальные условия в моментах в математической теории тонких тел при НПОТТ.
19. Постановки первой, второй и смешанной начально-краевых задач в моментах в математической теории тонких тел при НПОТТ.
20. Способы определения корректирующих слагаемых при постановках изотермических задач в перемещениях и вращениях при НПОТТ.
21. Квазистатическая задача микрополярной теории призматических тел постоянной толщины в перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещений и вращений.
22. О расщеплении начально-краевых задач и аналитических решениях краевых задач в математической теории тонких тел.
Дополнительная информация

Список литературы
I. Литература по теории специальных функций
1. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М., Наука, 1991.
2. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., Л, 1963.
3. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., Наука, 1966.
4. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. Учебное пособие. Наука, М., 1974 г., 304 с.
5. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
II. Литература по теории тонких тел с применением разложений по полиномам Лежандра и Чебышёва
1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982.
2. Меунаргия Т.В. Развитие метода И.Н. Векуа для задач трехмерной моментной упругости. Изд-во Тбилисского университета, 1987.
3. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. Изд-во Попеч. совета мех.-мат. ф-та МГУ, М., 2014. 515 с. https://istina.msu.ru/publications/book/6738800/
4. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления с приложениями
к механике, СМФН, 2015, том 55. С. 3–194. http://mi.mathnet.ru/rus/cmfd/v55/p3,
https://istina.msu.ru/publications/book/10117043/, http://mi.mathnet.ru/cmfd267
5. Nikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics. Journal of Mathematical Sciences. 2017, vol. 225, no 1, 194 p. DOI: 10.1007/s10958-017-3467-4
https://istina.msu.ru/publications/article/82581410/
III. Дополнительная литература
1. A.E. Green, W. Zerna Theoretical Elasticity. Oxford, 1968. 457 p.
2. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи
математической теории упругости и термоупругости. М., Наука, 1976.
3. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975.
4. Eringen A.C. Microcontinuum field theories. 1. Foundation and solids. N.Y.: Springer-Verlag. 1999. 325 p.