Алгебры Хопфа (введение)

Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на
которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и
некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом
взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые
рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической
топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с
алгебраической точки зрения. Начиная с 1986 года область получила
второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом понятия "квантовой
группы". (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как
раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет
согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих
алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над
алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. В настоящее
время алгебры Хопфа находят своё применение в различных областях
алгебры, топологии, геометрии, функционального анализа и теоретической
физики.

В осеннем семестре будут введены понятия коалгебры, комодуля над
коалгеброй, биалгебры и алгебры Хопфа, а также доказаны их важнейшие
свойства.