Избранные вопросы тензорного исчисления

Аннотация
Приведены основные определения из линейной алгебры и функционального анализа. В
частности, даны определения полугруппы, группы, кольца и поля, а также модуля и линейного
пространства. Сформулирована локальная теорема существования гомеоморфизмов. Введены
определения внутреннего r-произведения и локального скалярного произведения тензоров, ранг
которых не меньше r: а также локальной нормы тензора. Даны определения, сформулированы и
доказаны основные теоремы и утверждения, касающиеся линейной зависимости и
независимости системы тензоров любого ранга. Кроме этого, приведены определения и
доказательства некоторых теорем, относящихся к ортогональной и биортонормальной системам
тензоров. Дано определение мультипликативного базиса и рассмотрены способы построения
базисов модулей с помощью базисов модулей меньших размерностей. В этой связи
сформулировано и доказано несколько теорем. Изучены тензорные модули четного порядка и
задачи о нахождении собственных значений и собственных тензоров для тензора любого
четного ранга. Даны канонические представления тензора любого четного ранга.
Приведены элементарные сведения о многочленах с тензорными коэффициентами и
действиях над ними. Сформулирована и доказана обобщенная теорема Безу, на основании
которой доказана теорема Гамильтона–Кэли. Дано и другое доказательство последней теоремы.
Доказано несколько важных теорем, при доказательстве которых применяются формулы,
выражающие присоединенный тензор () для тензорного двучлена  - через тензор
модуля
2p (Ω) (элементами этого модуля являются комплексные тензоры ранга 2p) и его
инварианты. Здесь — единичный тензор модуля
2p (Ω).
Даны определения минимального многочлена тензора модуля
2p (Ω) и тензора модуля
p (Ω) (элементами этого модуля являются комплексные тензоры ранга p), а также тензора
модуля
p (Ω) относительно заданного тензора модуля 2p (Ω). Здесь Ω — некоторая область n-
мерного евклидова (риманова) пространства. Сформулированы и доказаны некоторые теоремы,
касающиеся минимальных многочленов. Кроме того, сформулированы 1-я, 2-я и 3-я теоремы о
расщеплении модуля
p (Ω) на инвариантные подмодули. Особое внимание уделено теоремам о
сопряженном, нормальном, эрмитовом и унитарном тензорах модулей
2p (Ω) и 2p (Ω)
(элементы этого модуля — действительные тензоры ранга 2p). Доказаны теоремы о полярном
разложении тензоров модулей
2p (Ω) и 2p (Ω), а также теоремы о существовании общей
полной ортонормальной системы собственных тензоров для конечного или бесконечного
множества попарно коммутирующих нормальных тензоров модулей
2p (Ω) и 2p (Ω). Даны
канонические представления вышеупомянутых тензоров.
Рассмотрены различные способы построения линейно независимых изотропных,
гиротропных, ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров. Сформулированы
утверждения и теоремы, позволяющие построить эти тензоры. Построены линейно
независимые указанные выше тензоры с первого до шестого ранга включительно, когда
компоненты тензора не обладают никакой симметрией и в том случае, когда имеются
разные виды симметрии.
Сформулированы задачи на собственные значения тензора любого четного ранга и
тензорно-блочной матрицы, состоящей из тензоров одинакового четного ранга. Подробно
изучены внутренние структуры тензора модуля
2p (Ω) и тензорно-блочной матрицы модуля
4 2p (Ω) (этот модуль состоит из множества тензорно-блочных матриц, состоящих из четырех
тензоров модуля
2p (Ω)). Кроме того, введен в рассмотрение тензорный столбец, состоящий
из двух тензоров модуля
p (Ω). Множество этих тензорных столбцов представляет модуль,
который обозначается через
2 p (Ω).
Для тензора A модуля
2p (Ω) определены тензор и расширенный тензор миноров
любого ранга и порядка, а также соответствующие этим минорам тензор и расширенный тензор
алгебраических дополнений. С помощью этих тензоров даны формулы, обобщающие теорему
Лапласа о разложении определителя тензора A модуля
2p (Ω). Даны соотношения,
выражающие классические (входящие в характеристическое уравнение) инварианты тензора
модуля
2p (Ω) как через тензоры и расширенные тензоры миноров, так и с помощью тензоров
и расширенных тензоров кофакторов этого тензора. Получены также формулы, выражающие
классические инварианты тензора A модуля
2p (Ω) через первые инварианты степеней этого
тензора. Приведены и обратные к этим формулам соотношения.
Сформулированы некоторые определения, утверждения и теоремы, касающиеся
тензорно-блочных матриц модуля
4 2p (Ω). В явном виде построена полная ортонормированная
система собственных тензоров симметрического тензора модуля
2p (Ω), а также — полная
ортонормированная система собственных тензорных столбцов, являющихся элементами модуля
2 p (Ω), симметрической тензорно-блочной матрицы модуля 4 2p (Ω).
Даны некоторые приложения к механике. В частности, в линейной микрополярной
теории упругости анизотропных тел без центра симметрии, аналогично общему случаю
введены в рассмотрение тензорные столбцы тензоров напряжений и моментных напряжений и
тензоров деформаций и изгиба-кручения. Введена также тензорно-блочная матрица тензоров
модулей упругости, состоящая из четырех тензоров четвертого ранга и являющаяся, конечно,
элементом модуля R 4 4 (Ω). Даны представления упругой энергии деформации и определяющих
соотношений (закона Гука) с помощью введенных тензорных столбцов и тензорно-блочной
матрицы. Дано определение положительно определенной тензорно-блочной матрицы и
показана положительная определенность тензорно-блочной матрицы тензоров модулей
упругости. Введены понятия собственного значения и собственного тензорного столбца
тензорно-блочной матрицы и сформулирована и решена задача на собственные значения для
тензорно-блочной матрицы. Дано каноническое представление тензорно-блочной матрицы, на
основании которого в свою очередь даны канонические записи удельной энергии деформации и
определяющих соотношений.
Введено в рассмотрение понятие символа структуры тензорно-блочной матрицы и дана
классификация тензорно-блочных матриц тензоров модулей упругости микрополярной
линейной теории упругости анизотропных тел без центра симметрии (микрополярных линейно
упругих анизотропных материалов без центра симметрии). Как частный случай рассмотрена
линейная микрополярная теория упругости анизотропных тел с центром симметрии. В этом
случае тензорно-блочная матрица является тензорно-блочно-диагональной матрицей и в этой
связи упрощается изучение ее внутренней структуры.
В явном виде построена полная ортонормированная система собственных тензорных
столбцов симметричной тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости с помощью
153 независимых параметров. Кроме того, построены полная ортонормированная система
собственных тензорных столбцов тензорно-блочно-диагональной матрицы тензоров модулей
упругости с помощью 72 независимых параметров и полная ортонормированная система
собственных тензоров для положительно определенного симметричного тензора модулей
упругости микрополярной теории упругости с помощью 36 независимых параметров.
Рассмотрена классификация и классических анизотропных материалов. Найдены собственные
значения и собственные тензоры для классических материалов кристаллографических
сингоний, а также для некоторых микрополярных материалов.
Основные понятия и определения из линейной алгебры и функционального анализа
1. Основные понятия и определения из теории групп.
2. Параметризация области.
3. Локально гильбертовы модули тензоров.
3.1. Внутреннее r-произведение тензоров.
3.2. Локальное скалярное произведение тензоров. Локальная норма тензора. Угол
между двумя тензорами.
3.3. Линейная зависимость и линейная независимость тензоров.
3.4. Ортонормальные и биортонормальные системы тензоров.
3.5. Базисы модуля
p (Ω). Разложение тензора относительно базиса.
3.6. Мультипликативные тензоры и их основные свойства.
3.7. Построение базисов модуля.
3.8. Базисы тензоров в трехмерном евклидовом пространстве.
3.9. Обобщение на случай риманова пространства.
4. Тензорные модули четного порядка. Кольцо с единицей
2p (Ω).
4.1. Алгебра
2p (Ω).
4.2. Мультипликативная группа M 2p .
5. Задача о нахождении собственных значений и собственных тензоров тензора ранга 2p
5.1. Приведение к каноническому виду (главным осям) тензора ранга 2p.
Многочлены с тензорными коэффициентами и действия над ними.
Обобщенная теорема Безу. Теорема Гамильтона–Кэли
6. Основные определения и действия над тензорными многочленами.
6.1. Сумма и разность двух тензорных многочленов.
6.2. Произведение двух тензорных многочленов.
6.3. Правое и левое деление тензорных многочленов. Обобщенная теорема Безу. Теорема
Гамильтона–Кэли.
7. Минимальный многочлен тензора модуля
2p (Ω).
7.1. Минимальный многочлен тензора модуля C p (Ω) и модуля
p (Ω) относительно заданного
тензора модуля
2p (Ω).
8. Некоторые теоремы о сопряженном, нормальном, эрмитовом и унитарном тензорах модуля
2p (Ω).
8.1. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы тензоры. Полярное разложение
тензора модуля
2p (Ω).
8.2. Тензоры модуля (Ω).
8.3. Полярное разложение тензора модуля
2p (Ω): Формулы Кэли.
8.4. Коммутирующие нормальные тензоры.
Построение линейно независимых изотропных, гиротропных,
ортотропных и трансверсально-изотропных тензоров
9. Об изотропных тензорах в R 3
10. Об ортотропных тензорах в R 2 и R 3 : Представления ортотропных тензоров второго и
четвертого ранга.
11. О гиротропных в R 2 и трансверсально-изотропных в R 3 тензорах.
11.1. О двумерных гиротропных тензорах.
11.2. О трансверсально-изотропных тензорах.
Задачи на собственные значения для тензора и тензорно-блочной
матрицы любого четного ранга
12. О тензорах модуля
2p (Ω).
13. Задача на собственные значения и построение полной системы собственных тензоров
для симметричного тензора любого четного ранга.
14. Задача на собственные значения и построение полной системы собственных тензорных
столбцов симметрической тензорно-блочной матрицы любого четного ранга.
15. Задача на собственные значения тензорно-блочно-диагональной матрицы.
Некоторые приложения к механике
16. Представления удельной энергии деформации и определяющих соотношений в линейной
микрополярной теории упругости.
16.1. Задача на собственные значения тензорно-блочной матрицы.
16.2. Представления удельной энергии деформации и определяющих соотношений с помощью
собственных значений и собственных тензорных столбцов.
16.3. Собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы.
16.4. Микрополярный материал с центром симметрии.
16.5. Задача на собственные значения и построение полной системы собственных тензоров для
симметричного тензора четвертого ранга.
17. Классификация микрополярных линейно упругих анизотропных материалов.
17.1. Классификация микрополярных линейно упругих анизотропных материалов с центром
симметрии.
17.2. Классификация классических линейно упругих анизотропных материалов.
18. Собственные значения и собственные тензоры для материалов кристаллографических
сингоний.
18.1. «Изотропный» классический материал.
18.2. Кубическая сингония (3 независимых компоненты).
18.3. Трансверсальная изотропия (гексагональная сингония, 5 независимых компонент).
18.4. Тригональная (ромбоэдрическая) сингония (6 независимых компонент).
18.5. Тетрагональная сингония (6 независимых компонент).
18.6. Ромбическая сингония (ортотропия, 9 независимых компонент).
18.7. Моноклинная сингония.
18.8. Триклинная сингония.
19. Некоторые микроконтинуальные материалы.
19.1. Микроконтинуальные материалы, символы анизотропии которых состоят из трех
элементов.
19.2. Ортотропный микроконтинуальный материал.
19.3. Классификация микрополярных линейно упругих анизотропных материалов, не
обладающих центром симметрии.
Определяющие соотношения некоторых математических моделей сплошных сред
и о классификации соответствующих материалов
20. Определяющие соотношения идеальной и вязкой жидкости и классификации
соответствующих материалов.
21. Определяющие соотношения типа повторно-градиентной линейной теории упругих тел
(материал Джеремилло (1929 г.)) и классификации соответствующих материалов.
22. Определяющие соотношения повторно-градиентной теории упругих тел и классификации
соответствующих материалов.
23. Определяющие соотношения типа повторно-градиентной теории упругих тел и
классификации соответствующих материалов.
24. Определяющие соотношения повторно-градиентной теории вязкоупругих тел и
классификации соответствующих материалов.
25. Определяющие соотношения типа повторно-градиентной теории вязкоупругих тел и
классификации соответствующих материалов.
26. Определяющие соотношения теории Миндлина–Ерингена и классификации
соответствующих материалов.
27. Определяющие соотношения физически нелинейных теорий упругости (Б.Е.Победря) и
классификации соответствующих материалов.
28. Определяющие соотношения теорий пластичности: определяющие соотношения различных
теорий пластичности (Сен-Венана–Леви–-Мизеса, Прандтля–Рейса, Генки, Прагера),
Определяющие соотношения теории малых упруго-пластических деформаций (А.А.
Ильюшина), Определяющие соотношения теории пластического течения и классификации
соответствующих материалов.