Ультрафильтры: место встречи топологии, алгебры, комбинаторики и динамики

Понятие ультрафильтра не входит в программы базовых курсов для студентов мехмата, однако они играют важную роль в самых разных областях математики. Многие фундаментальные понятия, включая непрерывность и компактность, очень просто определяются на языке ультрафильтров, и зачастую этот язык оказывается наиболее естественным и удобным. Например, самая цитируемая в математике теорема — теорема Тихонова о произведении компактов — имеет простое и изящное доказательство в терминах ультрафильтров (тогда как стандартное доказательство громоздко и трудно для понимания), а наиболее популярная и удобная модель нестандартного анализа основана на понятии ультрафильтрованного произведения. Это понятие играет основополагающую роль и в теории многообразий групп.

На множестве всех ультрафильтров на произвольном множестве X имеется естественная топология. Пространство βX ультрафильтров с этой топологией компактно; более того, оно является максимальной компактификацией множества X, рассматриваемого как дискретное топологическое пространство. В случае, когда X — полугруппа (например, множество натуральных чисел), это обстоятельство позволяет продолжить полугрупповую операцию до непрерывной по первому аргументу ассоциативной операции на βX. Тем самым βX превращается в компактную правотопологическую полугруппу, а во всякой такой полугруппе имеются идемпотенты, минимальные левые идеалы и т.п. Ультрафильтры-идемпотенты (а также ультрафильтры из минимальных идеалов) обладают уникальными комбинаторными свойствами, которые позволяют с лёгкостью доказывать важнейшие теоремы теории раскрасок (такие как теорема ван дер Вардена об арифметических и геометрических прогрессиях, теорема Шура об одноцветных решениях уравнения x+y=z и теорема Хиндмана о множествах конечных произведений без повторений в группах), доказать которые без применения ультрафильтров либо очень трудно, либо вообще не удаётся.

В 1990-х годах была обнаружена простая и естественная тесная связь между ультрафильтрами и множествами возврата в динамических системах, которая дала новый импульс развитию топологических динамических систем.

В курсе будут подробно рассмотрены все перечисленные темы. Предполагается начать «с нуля», но при этом полностью со всеми деталями изложить доказательства всех упомянутых (и многих других) утверждений. Это вполне осуществимо, поскольку ультрафильтры — это действительно чрезвычайно мощный инструмент, который связывает очень разные области математики и позволяет радикально упростить многие конструкции. Часть спецкурса будет посвящена открытым проблемам, решением которых занимается автор в настоящее время. Никакой предварительной подготовки от слушателей не требуется.