Название спецкурса на русском языке
Механика композитов
Перевод названия курса на английский язык
Mechanics of composites
Целевая аудитория
4 курс
Подразделение
[Кафедра механики композитов]
Семестр
Год
Тип курса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2023/24
День недели
пятница
Время
12:30-14:05
Формат проведения
В аудитории
Аудитория
[Ещё не назначена]
Аннотация
ПРОГРАММА ГОДОВОГО СПЕЦКУРСА ПО МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ (МК).
ЧАСТЬ 1.
Профессор В.И. Горбачев (осень 2023 г.)
{1.1.} Широкое и узкое определение композиционного
материала. Математическое определение. Контактные условия между компонентами композита.
Идеальный контакт. Скользящий контакт. Контакт с натягом. Классификация композитов.
{1.2.} Представительный объём. Типичный элемент. Замощения. Ячейка
периодичности. Периодические и квазипериодические структуры.
{1.3.} Постановка статической задачи МК в перемещениях. Общие свойства
определяющих соотношений.
{1.4.} Линейный упругий материал. Общий случай анизотропии. Материал с
плоскостью упругой симметрии. Ортотропный материал. Трансверсально изотропный материал.
Случай полной изотропии. Параметры Ламе.
{1.5.} Способ перемножения и обращения изотропных тензоров четвертого ранга.
{1.6.} Линейный вязкоупругий материал. Релаксация и ползучесть. Сингулярные
ядра скоростей релаксации и ползучести. Стареющие и нестареющие материалы. Запись вязкоупругих
определяющих соотношений для нестареющих материалов в виде интегралов Стилтьеса. Операторная
запись определяющих соотношений вязкоупругости. Случай изотропного вязкоупругого материала.
{1.7.} Упругопластический материал. Теория малых упругопластических
деформаций. Функция пластичности Ильюшина. Общее представление определяющих соотношений для
упругих, вязкоупругих и упругопластических материалов.
{2.1.} Понятие об эффективных определяющих соотношениях. Первая специальная
краевая задача. Эффективные определяющие соотношения типа $<\und{\sigma}>\sim<\und{\varepsilon}>$.
Вторая специальная краевая задача. Эффективные определяющие соотношения типа
$<\und{\varepsilon}>\sim<\und{\sigma}>$. О двух подходах к расчету эффективных характеристик.
{2.2.} Эффективные модули упругости неоднородного упругого тела. Постановка
первой специальной краевой задачи (СКЗ) для линейно упругого неоднородного тела. Сведение
исходной первой СКЗ к вспомогательной задаче. Структурные функции. Уравнения и граничные
условия для структурных функций. Тензор концентрации деформаций и тензор концентрации напряжений.
Выражение эффективных коэффициентов упругости через структурные функции.
{2.3.} Теорема о симметрии и положительной определенности эффективных
коэффициентов упругости. Сведение вспомогательной задачи к серии классических задач теории
упругости с различными объёмными нагрузками.
{2.4.} Постановка вспомогательной задачи в перемещениях. Цилиндрическое тело
неоднородное в поперечном сечении. Волокнистый композит. Плоские и антиплоские вспомогательные
задачи. Выражения для фиктивных объёмных сил в случае кусочно постоянных модулей.
{2.5.} Эффективные модули упругости неоднородного по толщине бесконечного слоя.
Слоистый композит. Постановка вспомогательной задачи для слоя. Общий случай анизотропии и
зависимости модулей упругости от координаты поперёк слоя. Обратный тензор к эффективному тензору
упругости. Случай изотропии. Компоненты тензора эффективных модулей упругости. Компоненты
тензора эффективных податливостей.
{3.1.} Тензор эффективных податливостей неоднородного упругого тела. Определение.
Постановка второй специальной краевой задачи (СКЗ) в перемещениях. Постановка второй СКЗ в
напряжениях. Функции напряжений во второй СКЗ. L-функции. Выражение эффективных податливостей
через L-функции. Уравнения и граничные условия для функций напряжений второй СКЗ.
{3.2.} Система обыкновенных дифференциальных 4-го порядка для L-функций.
Нахождение L-функций. Случай периодически неоднородного слоя. Формула для эффективных
податливостей периодически неоднородного слоя. Изотропный, периодически неоднородный слой.
Изотропный, периодически неоднородный слой при постоянном коэффициенте Пуассона.
{3.3.} Проблема единственности эффективных характеристик и масштабный
эффект. Ещё раз о двух подходах к расчету эффективных характеристик. Суть масштабного эффекта.
Оценка эффективных характеристик упругих композитов.
{4.1.} Эффективные модули Фойгта. Эффективные модули Рейсса. Вилка Фойгта-Рейсса.
{4.2.} Функционал Хашина-Штрикмана.
{4.3.} Вариационный принцип Хашина-Штрикмана. Доказательство стационарности.
Доказательство минимаксности. Доказательство того, что в стационарном состоянии функционал
Хашина-Штрикмана совпадает с лагранжианом исходной задачи.
{4.4.} Вилка Хашина-Штрикмана. Случай N > 2 изотропных компонент.
Случай N = 2 изотропных компонент.
{5.1.} Задача Эшелби. Превращение (трансформация) области тела. Этапы решения
задачи. Тензор Эшелби (анизотропная среда и произвольная область трансформации). Напряжения при
трансформации.
{5.2.} Перемещения в случае изотропной среды и произвольной области трансформации.
Перемещения внутренних точек области трансформации.
{5.3.} Случай изотропной среды и эллипсоидальной области трансформации.
Трёхосный эллипсоид.
{5.4.} Сферическая область трансформации. Круговой цилиндр. Слой. Единая формула
для трёх случаев (шар, цилиндр, слой).
{5.5.} Деформации и напряжения внутри инородного эллипсоидального включения
в бесконечной упругой среде. Постановка задачи. Трансформация области в однородном нагруженном
пространстве. Деформации в инородном включении в нагруженном пространстве. Гипотеза Эшелби.
Тензоры концентрации деформаций и напряжений в инородном включении.
{6.1.} Композиты с периодической структурой. Ячейка периодичности.
Периодические и квазипериодические структуры. Преобразование произвольной ячейки периодичности
в куб периодичности с единичным ребром. Связь глобальных и безразмерных локальных координат.
Дифференцирование функций локальной переменной по безразмерной глобальной координате. Функции
локальной переменной. Безразмерные глобальные координаты. Малый геометрический параметр.
Асимптотический метод решения задач для тел из композиционных материалов с периодической
структурой (метод Бахвалова-Победри).
{6.2.} Одномерная задача о деформировании неоднородного по длине упругого
стержня с переменным поперечным сечением. Постановка исходной задачи. Точное решение исходной
задачи. Постановка исходной задачи в безразмерных координатах. Малый параметр. Разложение
решения исходной задачи в асимптотический ряд по степеням малого параметра. Структурные функции.
Сведение исходного уравнения второго порядка с переменным коэффициентом к уравнению
бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Рекуррентные уравнения для структурных
функций (структурные уравнения).
{6.3.} Выражение эффективных коэффициентов через структурные функции. Первая
рекуррентная последовательность для вычисления структурных функций и эффективных коэффициентов.
Условия для выделения единственного решения структурных уравнений. Условие периодичности.
Условие нормировки. Вторая рекуррентная последовательность задач для вычисления гладкой функции.
{6.4.} Вычисление структурных функций $N_{q}(\zeta)$ и констант $h_{q-1}$.
Функция $N_{1}(\zeta)$ и константа $h_0$. Функции $N_{q}(\zeta)$ и константы $h_{q-1}$ при $q>2$.
Окончательные формулы для структурных функций.
{7.1.} Метод Бахвалова-Победри (МБП) осреднения уравнений эллиптического типа.
Постановка исходной задачи. Малый геометрический параметр в статической задаче. Ряды по малому
параметру для перемещений в исходной задаче. Условия периодичности и нормировки для структурных
функций. Ряды для деформаций и напряжений. Преобразование уравнения второго порядка с
переменными коэффициентами в уравнение бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.
Первая рекуррентная последовательность уравнений для структурных функций
$N_{(q)kmi1...iq}(\zeta)$.
{7.2.} Вторая рекуррентная последовательность краевых задач для сопутствующего
тела с постоянными свойствами. Граничные условия на части поверхности $\Sigma_u$. Граничные
условия на части поверхности $\Sigma_p$.
{7.3.} Эффективные модули упругости. Симметрия и положительная определенность.
{8.1.} Новый метод осреднения обыкновенных дифференциальных уравнений с
переменными интегрируемыми коэффициентами. Исходное уравнение. Сопутствующее уравнение
с постоянными коэффициентами и его общее решение. Фундаментальное функция исходного уравнения.
{8.2.} Интегральная формула представления решения исходного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка. Проверка интегральной формулы уравнения путём
подстановка в исходное уравнение. Вывод общего решения исходного уравнения второго порядка
из интегральной формулы.
{8.3.} Выбор коэффициентов сопутствующего уравнения. Построение
фундаментального решения исходного уравнения.
{9.1.} Новый метод осреднения дифференциальных уравнений в частных производных.
Уравнение эллиптического типа. Интегральная формула.
{9.2.} Представление решения исходного уравнения в виде ряда по производным от
решения сопутствующего уравнения. Структурные функции. Рекуррентные уравнения для структурных
функций.
{9.3.} Проблема выбора сопутствующих коэффициентов. Бесконечный в плане,
неоднородный по толщине слой.
{9.4.} Исходное уравнение гиперболического типа с коэффициентами зависящими от
координат и времени. Сопутствующее уравнение. Фундаментальное решение исходного уравнения.
Запись всех уравнений в 4-мерной нотации. Интегральная формула представления решения исходного
уравнения через решение сопутствующего уравнения.
{9.5.} Получение из интегральной формулы эквивалентного представления в виде
ряда по всевозможным производным от сопутствующего решения. Структурные функции. Рекуррентные
уравнения для структурных функций.
{9.6.} Коэффициенты сопутствующего гиперболического уравнения.
{9.7.} Случаи аналитического интегрирования структурных уравнений. Случай
зависимости исходных коэффициентов от одной пространственной координаты. Случай зависимости
исходных коэффициентов только от времени.
ЧАСТЬ 1.
Профессор В.И. Горбачев (осень 2023 г.)
{1.1.} Широкое и узкое определение композиционного
материала. Математическое определение. Контактные условия между компонентами композита.
Идеальный контакт. Скользящий контакт. Контакт с натягом. Классификация композитов.
{1.2.} Представительный объём. Типичный элемент. Замощения. Ячейка
периодичности. Периодические и квазипериодические структуры.
{1.3.} Постановка статической задачи МК в перемещениях. Общие свойства
определяющих соотношений.
{1.4.} Линейный упругий материал. Общий случай анизотропии. Материал с
плоскостью упругой симметрии. Ортотропный материал. Трансверсально изотропный материал.
Случай полной изотропии. Параметры Ламе.
{1.5.} Способ перемножения и обращения изотропных тензоров четвертого ранга.
{1.6.} Линейный вязкоупругий материал. Релаксация и ползучесть. Сингулярные
ядра скоростей релаксации и ползучести. Стареющие и нестареющие материалы. Запись вязкоупругих
определяющих соотношений для нестареющих материалов в виде интегралов Стилтьеса. Операторная
запись определяющих соотношений вязкоупругости. Случай изотропного вязкоупругого материала.
{1.7.} Упругопластический материал. Теория малых упругопластических
деформаций. Функция пластичности Ильюшина. Общее представление определяющих соотношений для
упругих, вязкоупругих и упругопластических материалов.
{2.1.} Понятие об эффективных определяющих соотношениях. Первая специальная
краевая задача. Эффективные определяющие соотношения типа $<\und{\sigma}>\sim<\und{\varepsilon}>$.
Вторая специальная краевая задача. Эффективные определяющие соотношения типа
$<\und{\varepsilon}>\sim<\und{\sigma}>$. О двух подходах к расчету эффективных характеристик.
{2.2.} Эффективные модули упругости неоднородного упругого тела. Постановка
первой специальной краевой задачи (СКЗ) для линейно упругого неоднородного тела. Сведение
исходной первой СКЗ к вспомогательной задаче. Структурные функции. Уравнения и граничные
условия для структурных функций. Тензор концентрации деформаций и тензор концентрации напряжений.
Выражение эффективных коэффициентов упругости через структурные функции.
{2.3.} Теорема о симметрии и положительной определенности эффективных
коэффициентов упругости. Сведение вспомогательной задачи к серии классических задач теории
упругости с различными объёмными нагрузками.
{2.4.} Постановка вспомогательной задачи в перемещениях. Цилиндрическое тело
неоднородное в поперечном сечении. Волокнистый композит. Плоские и антиплоские вспомогательные
задачи. Выражения для фиктивных объёмных сил в случае кусочно постоянных модулей.
{2.5.} Эффективные модули упругости неоднородного по толщине бесконечного слоя.
Слоистый композит. Постановка вспомогательной задачи для слоя. Общий случай анизотропии и
зависимости модулей упругости от координаты поперёк слоя. Обратный тензор к эффективному тензору
упругости. Случай изотропии. Компоненты тензора эффективных модулей упругости. Компоненты
тензора эффективных податливостей.
{3.1.} Тензор эффективных податливостей неоднородного упругого тела. Определение.
Постановка второй специальной краевой задачи (СКЗ) в перемещениях. Постановка второй СКЗ в
напряжениях. Функции напряжений во второй СКЗ. L-функции. Выражение эффективных податливостей
через L-функции. Уравнения и граничные условия для функций напряжений второй СКЗ.
{3.2.} Система обыкновенных дифференциальных 4-го порядка для L-функций.
Нахождение L-функций. Случай периодически неоднородного слоя. Формула для эффективных
податливостей периодически неоднородного слоя. Изотропный, периодически неоднородный слой.
Изотропный, периодически неоднородный слой при постоянном коэффициенте Пуассона.
{3.3.} Проблема единственности эффективных характеристик и масштабный
эффект. Ещё раз о двух подходах к расчету эффективных характеристик. Суть масштабного эффекта.
Оценка эффективных характеристик упругих композитов.
{4.1.} Эффективные модули Фойгта. Эффективные модули Рейсса. Вилка Фойгта-Рейсса.
{4.2.} Функционал Хашина-Штрикмана.
{4.3.} Вариационный принцип Хашина-Штрикмана. Доказательство стационарности.
Доказательство минимаксности. Доказательство того, что в стационарном состоянии функционал
Хашина-Штрикмана совпадает с лагранжианом исходной задачи.
{4.4.} Вилка Хашина-Штрикмана. Случай N > 2 изотропных компонент.
Случай N = 2 изотропных компонент.
{5.1.} Задача Эшелби. Превращение (трансформация) области тела. Этапы решения
задачи. Тензор Эшелби (анизотропная среда и произвольная область трансформации). Напряжения при
трансформации.
{5.2.} Перемещения в случае изотропной среды и произвольной области трансформации.
Перемещения внутренних точек области трансформации.
{5.3.} Случай изотропной среды и эллипсоидальной области трансформации.
Трёхосный эллипсоид.
{5.4.} Сферическая область трансформации. Круговой цилиндр. Слой. Единая формула
для трёх случаев (шар, цилиндр, слой).
{5.5.} Деформации и напряжения внутри инородного эллипсоидального включения
в бесконечной упругой среде. Постановка задачи. Трансформация области в однородном нагруженном
пространстве. Деформации в инородном включении в нагруженном пространстве. Гипотеза Эшелби.
Тензоры концентрации деформаций и напряжений в инородном включении.
{6.1.} Композиты с периодической структурой. Ячейка периодичности.
Периодические и квазипериодические структуры. Преобразование произвольной ячейки периодичности
в куб периодичности с единичным ребром. Связь глобальных и безразмерных локальных координат.
Дифференцирование функций локальной переменной по безразмерной глобальной координате. Функции
локальной переменной. Безразмерные глобальные координаты. Малый геометрический параметр.
Асимптотический метод решения задач для тел из композиционных материалов с периодической
структурой (метод Бахвалова-Победри).
{6.2.} Одномерная задача о деформировании неоднородного по длине упругого
стержня с переменным поперечным сечением. Постановка исходной задачи. Точное решение исходной
задачи. Постановка исходной задачи в безразмерных координатах. Малый параметр. Разложение
решения исходной задачи в асимптотический ряд по степеням малого параметра. Структурные функции.
Сведение исходного уравнения второго порядка с переменным коэффициентом к уравнению
бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Рекуррентные уравнения для структурных
функций (структурные уравнения).
{6.3.} Выражение эффективных коэффициентов через структурные функции. Первая
рекуррентная последовательность для вычисления структурных функций и эффективных коэффициентов.
Условия для выделения единственного решения структурных уравнений. Условие периодичности.
Условие нормировки. Вторая рекуррентная последовательность задач для вычисления гладкой функции.
{6.4.} Вычисление структурных функций $N_{q}(\zeta)$ и констант $h_{q-1}$.
Функция $N_{1}(\zeta)$ и константа $h_0$. Функции $N_{q}(\zeta)$ и константы $h_{q-1}$ при $q>2$.
Окончательные формулы для структурных функций.
{7.1.} Метод Бахвалова-Победри (МБП) осреднения уравнений эллиптического типа.
Постановка исходной задачи. Малый геометрический параметр в статической задаче. Ряды по малому
параметру для перемещений в исходной задаче. Условия периодичности и нормировки для структурных
функций. Ряды для деформаций и напряжений. Преобразование уравнения второго порядка с
переменными коэффициентами в уравнение бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.
Первая рекуррентная последовательность уравнений для структурных функций
$N_{(q)kmi1...iq}(\zeta)$.
{7.2.} Вторая рекуррентная последовательность краевых задач для сопутствующего
тела с постоянными свойствами. Граничные условия на части поверхности $\Sigma_u$. Граничные
условия на части поверхности $\Sigma_p$.
{7.3.} Эффективные модули упругости. Симметрия и положительная определенность.
{8.1.} Новый метод осреднения обыкновенных дифференциальных уравнений с
переменными интегрируемыми коэффициентами. Исходное уравнение. Сопутствующее уравнение
с постоянными коэффициентами и его общее решение. Фундаментальное функция исходного уравнения.
{8.2.} Интегральная формула представления решения исходного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка. Проверка интегральной формулы уравнения путём
подстановка в исходное уравнение. Вывод общего решения исходного уравнения второго порядка
из интегральной формулы.
{8.3.} Выбор коэффициентов сопутствующего уравнения. Построение
фундаментального решения исходного уравнения.
{9.1.} Новый метод осреднения дифференциальных уравнений в частных производных.
Уравнение эллиптического типа. Интегральная формула.
{9.2.} Представление решения исходного уравнения в виде ряда по производным от
решения сопутствующего уравнения. Структурные функции. Рекуррентные уравнения для структурных
функций.
{9.3.} Проблема выбора сопутствующих коэффициентов. Бесконечный в плане,
неоднородный по толщине слой.
{9.4.} Исходное уравнение гиперболического типа с коэффициентами зависящими от
координат и времени. Сопутствующее уравнение. Фундаментальное решение исходного уравнения.
Запись всех уравнений в 4-мерной нотации. Интегральная формула представления решения исходного
уравнения через решение сопутствующего уравнения.
{9.5.} Получение из интегральной формулы эквивалентного представления в виде
ряда по всевозможным производным от сопутствующего решения. Структурные функции. Рекуррентные
уравнения для структурных функций.
{9.6.} Коэффициенты сопутствующего гиперболического уравнения.
{9.7.} Случаи аналитического интегрирования структурных уравнений. Случай
зависимости исходных коэффициентов от одной пространственной координаты. Случай зависимости
исходных коэффициентов только от времени.
Дополнительная информация
ауд.405