Прикладные вопросы алгебры

Данный курс посвящён проблемам алгоритмической разрешимости и неразрешимости некоторых задач алгебры. Таких как вхождение элемента в идеал, равенство идеалов, равенство элементов в полугруппе/кольце. Прежде всего вводится строгая терминология, позволяющая говорить о разрешимости или неразрешимости задачи. Рассматривается ряд алгоритмически неразрешимых задач таких как проблема равенства элементов в полугруппе с конечным числом образующих и соотношений. Основная часть курса посвящена конкретным алгоритмам, основанным на понятии базиса Грёбнера в кольце (коммутативных) многочленов от нескольких переменных. Описаны алгоритмы проверки, что система является системой Грёбнера (критерий Бухбергера), алгоритм построения базиса Грёбнера идеала (алгоритм Бухбергера), алгоритм сравнения идеалов (на равенство), алгоритм нахождения пересечений идеалов. Алгоритм сведения полиномиальной системы к одному полиномиальному уравнению.

Кроме практических алгоритмов теория базисов Грёбнера позволяет доказать некоторые теоретические результаты из алгебраической геометрии. Например, в курсе доказывается теорема Гильберта о нулях. Также вводится понятие размерности используя рост алгебры.

Материал курса лежит на пересечении алгебры, алгебраической геометрии, теории алгоритмов и программирования.