Математические методы в физике твердого тела

Целью курса является знакомство с математическими и — в первую очередь — топологическими методами, применяемыми в теории твёрдого тела. Роль топологии в физике твёрдого тела проявилась в полной мере при исследовании квантового эффекта Холла. Вскоре после его открытия фон Клитцингом в 1980 году появились публикации Лафлина и Таулесса с соавторами, в которых предлагалось топологическое объяснение этого эффекта.

Ключевую роль в исследовании топологических свойств твёрдых тел играет изучение их групп симметрий. Описание возможных типов симметрий восходит к Китаеву, который предложил классификацию топологических объектов, основанную на теории представлений клиффордовых алгебр. Вслед за алгебрами Клиффорда последовала K-теория, в терминах которой естественно формулируются топологические свойства твёрдых тел.

В курсе будут представлены приложения указанных математических дисциплин в физике твёрдого тела. Вначале мы напомним основные положения теории Блоха, описывающей свойства твёрдых тел, обладающих кристаллической решёткой. Затем построим алгебру наблюдаемых топологических объектов и возникающих классов симметрий.

Далее дадим описание алгебры наблюдаемых в терминах K-теории градуированных C∗-алгебр и опишем топологические инварианты твердого тела. Алгебра граничных наблюдаемых также определяется в терминах K-теории, предложенной Каспаровым.

Завершается курс построением BB-соответствия между топологическими инвариантами тела и его границы.

Это соответствие допускает естественную формулировку в терминах K-теории. В частном случае периодической унитарной модели его можно описать явным образом.