Геометрия квантового расстояние Громова-Хаусдорфа

Квантовое расстояние Громова-Хаусдорфа возникает из желания научиться сравнивать геометрию разных квантовых систем, которые сегодня принято описывать на языке некоммутативной геометрии и супергеометрии. Базовыми объектами здесь являются C*-алгебры и их ``метрическое'' обобщение — линейные пространства с частичным порядком и липшицевыми полунормами. Оказывается, в этом случае можно определить аналог расстояния Громова-Хаусдорфа, который обладает рядом похожих свойств, известных из теории компактных метрических пространств.

Мы начнем с напоминания основ линейного функционального анализа, в частности, теории банаховым пространств. Теоремы Хана-Банаха, Банаха-Штейнгауза, Банаха-Алаоглу и др. будут сформулированы без доказательства. Затем мы перейдем к изложению основ теории -алгебр и C-алгебр. В этом разделе мы следуем монографии Дж. Мерфи ``C*-алгебры и теории операторов''. Мы докажем знаменитую теорему И.М.Гельфанда, описывающую коммутативные C*-алгебры, и приведем все необходимое для понимания теоремы Гельфанда о представлении некоммутативной C*-алгебры. Затем мы перейдем к теории пространств с частичным порядком. Основным источником здесь будет служить статья Paulsen V., Tomforde M. ``Vector spaces with an order unit''. И, наконец, будет разобрана конструкция Марка Риффеля квантовых компактных метрических пространств и соответствующего квантового расстояния Громова-Хаусдорфа. Эти результаты мы берем из статей Rieffel M.A. ``Metrics on State Spaces'' и Rieffel M.A. ``Gromov-Hausdorff Distance for Quantum Metric Spaces'’.

Мы предполагаем, что слушатели знакомы с началами топологии, функционального анализа и метрической геометрии. Впрочем, все нужные нам определения и результаты мы будем формулировать и, если слушатели захотят, разбирать более детально.

Спецкурс рассчитан на студентов и аспирантов, которые интересуются современной математикой и готовы самостоятельно изучать дополнительный материал, а также активно задавать вопросы лектору.