Топологические группы (на англ. языке)

Топологической группой называется группа с топологией, относительно которой обе групповые операции (умножение и взятие обратного) непрерывны (такая топология называется групповой). Групповая и топологическая структуры оказывают друг на друга сильное влияние. Уже проблема существования недискретной хаусдорфовой групповой топологии на произвольной бесконечной группе оказывается весьма нетривиальной. Все группы топологически однородны (системы окрестностей всех точек устроены одинаково), поскольку умножение на любой фиксированный элемент — гомеоморфизм. Хорошо известно, что если в топологической группе единица обладает счётной базой окрестностей, то топология этой группы порождается некоторой «хорошей» (инвариантной) метрикой. Имеются и другие примеры сильного влияния наличия групповой структуры, согласованной с топологией, на топологические свойства. В свою очередь, алгебраические свойства зависят от наличия согласованной с операциями топологии. Например, в любой компактной полугруппе, операция которой непрерывна хотя бы по одному аргументу, имеется идемпотент, т.е. элемент, равный своему квадрату.
Всё это будет обсуждаться на спецкурсе. Часть курса будет посвящена группам и полугруппам с топологиями, относительно которых операции непрерывны лишь в некотором слабом смысле (например, в полутопологических группах умножение раздельно непрерывно, а взятие обратного вообще не предполагается непрерывным). В частности, будет доказано, что любая локально компактная полутопологическая группа является топологической группой. Будут также рассмотрены свободные топологические группы и топологические векторные пространства.