1. Постановка начально-краевых задач динамической задачи теории упругости.
Условия гиперболичности уравнений движения. Основные типы граничных условий. Условия на поверхностях разрыва (контактные условия).
2. Основные частные задачи общей динамической задачи (определения). Задача
Коши. Задача о свободных колебаниях тела. Задача об установившихся
колебаниях тела (стационарная динамическая задача). Задача о собственных
колебаниях тела. Собственные частоты. Резонанс. Задача дифракции.
3. Волны в твёрдом теле. Основные определения: волна, колебание, период и частота волн.
Дисперсия волн. Дисперсионное уравнение. Продольная и поперечная волны. Плоская волна. Сферическая волна.
4. Волны в бесконечной изотропной упругой среде (задача Коши).
5. Волновое уравнение. Оператор Даламбера. Волновые потенциалы.
6. Волны дилатации и волны сдвига.
7. Плоская волна в бесконечном упругом пространстве. Решение Даламбера одномерного
волнового уравнения.
8. Плоская волна в произвольном направлении.
9. Плоские гармонические волны: амплитуда, волновое число, частота волны, период,
длина волны.
10. Волны в анизотропной среде.
11. Плоские поверхностные волны Релея.
12. Плоские поперечные волны Лява. Дисперсия волн Лява.
13. Плоская задача. Плоская деформация и условия её реализации. Деформации и перемещения при плоской деформации. Прямые и обратные определяющие соотношения при плоской деформации. Продольное напряжение при плоской деформации трубы. Постановка задачи о плоской деформации в однородном изотропном случае. Условия совместности при плоской деформации.
14. Плоское напряженное состояние и чисто плоское напряженное состояние. Обратные и прямые определяющие соотношения при плоском напряженном состоянии. Поперечная деформация и условия совместности при плоском напряженном состоянии.
15. Обобщенное плоское напряженное состояние и условия его реализации. Анализ поперечных напряжений в пластине. Постановка плоских задач теории упругости. Получение решения задачи для диска из решения задачи о плоской деформации. Условия совместности при обобщенном плоском напряженном состоянии.
16. Постановка плоской задачи в напряжениях. Функция напряжений Эри во второй краевой задаче. Уравнение и граничные условия для функции напряжений. Физический смысл функции напряжений. Теорема Мориса-Леви.
17. Определение деформаций и перемещений по функции напряжений.
18. Введение комплексных переменных. Теорема Гурса о представлении бигармонической функции через две функции комплексной переменной. Комплексные потенциалы.
19. Комплексная функция перемещений. Представление комплексная функций перемещений через комплексные потенциалы.
20. Представление напряжений и граничных условий через комплексные потенциалы.
21. Полярные координаты. Представление комплексных перемещений и напряжений в полярных координатах.
22. Задача Ламе о трубе под давлением. Решение задачи Ламе в перемещениях. Решение задачи Ламе с помощью функции напряжений Эри. Решение задачи Ламе методом ТФКП.
23. Ползучесть и релаксация при нагружении образцов. Феноменологический и механический подходы к построению определяющих соотношений реономных материалов.
24. Модель Максвелла. Модель Фойхта. Модель Кельвина. Дифференциальная модель определяющих соотношений вязкоупругости.
25. Интегральные определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости. Сингулярные и регулярные ядра ползучести и релаксации. Представление определяющих соотношений с помощью интегралов Стилтьеса в виде Больцмана. Функции ползучести и релаксации. Стареющие и нестареющие вязкоупругие материалы.
26. Экспериментальное определение функций ползучести и релаксации. Построение функции релаксации по заданной функции ползучести.
27. Влияние температуры. Температурно-временная аналогия.
28. Обобщение простейших моделей на трёхмерный случай. Общий вид определяющих соотношений для неоднородного анизотропного вязкоупругого тела. Постановка задач в общем случае. Случай изотропного вязкоупругого тела. Постановка задач теории вязкоупругости для однородного изотропного тела.
29. Преобразование Лапласа‒Карсона и его основные свойства. Постановка задач теории нестареющих вязкоупругих тел в изображениях.
30. Метод аппроксимаций А.А. Ильюшина.
31. Задача о вязкоупругой трубе под давлением.
32. Диаграмма растяжения. Условная и истинная диаграммы напряжений. Основные точки на диаграмме. Аддитивность упругой и пластической деформации.
33. Девиатор напряжений и девиатор деформаций. Модуль девиатора напряжений и девиатора деформаций. Направляющие тензоры напряжений и деформаций. Интенсивность напряжений и интенсивность деформаций.
34. Представление тензора напряжений через скалярные и векторные характеристики напряженного состояния. Понятие о простом и сложном нагружении. Активное нагружение и разгрузка.
35. Теория малых упруго-пластических деформаций (ТМУПД) А.А. Ильюшина. Основные предположения и гипотезы ТМУПД.
36. Гипотеза единой кривой. Связь между девиаторами напряжений и деформаций. Функция пластичности А.А. Ильюшина.
37. Запись определяющих соотношений ТМУПД с помощью функции пластичности.
38. Метод упругих решений А.А. Ильюшина. Логистика метода упругих решений.
39. Метод переменных параметров упругости И.А. Биргера. Логистика метода переменных параметров упругости.
Рекомендуемая литература
1. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. 2-е изд. МГУ, Москва, 1979.
2. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. МГУ, Москва, 1995.
3. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975.
4. Ильюшин А.А. Пластичность. Гостехиздат, 1948.
5. Ильюшин А.А.. Пластичность. Основы общей математической теории. М., Изд-во АН СССР, 1963.
6. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы матеметической теории термовязкоупругости. М., Наука, 1970.
7. Безухов Н.И.. Основы теории упругости пластичности и ползучести. М., Высшая школа, 1968.
8. Качанов Л.М.. Основы теории пластичности. М.,Наука, 1969.
Дополнительный список литературы
1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. 272 С.
2. Божидарник В.В., Сулим Г.Т. Елементи теорй пружностi. Львiв: Сыт, 1994. 560 с.
3. Бондарев Е.Н., Дибасов В.Т., Рижов Ю.А., Свирщевский С.Б., Семенчиков Н.В. Аэрогидромеханика. М.: Машиностроение, 1993.
4. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.
5. Георгиевский Д.В. Тензорно нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики. 2002. Т.1, № 2. С. 150-176
6. Георгиевский Д.В., Победря Б.Е. О числе независимых уравнений совместности в механике деформируемого твёрдого тела // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 6. С. 1043-1048.
7. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.
8. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электромагнитоупргость. Киев: Наукова думка, 1989. 279 с.
9. Гроот С. де, Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.
10. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В четырех томах. Т. 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 559 с.
11. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В четырех томах. Т. 1. Тензорный анализ. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 463 с.
12. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 200 с.
13. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наукова думка, 1982. 258 с.
14. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчиуладзе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории упругости. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1976. 664 с.
15. Лехниикий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.
16. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
17. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
18. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.
19. Мак-Конелл А.Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Физмат-гиз, 1963. 411 с.
20. Механика сплошных сред в задачах / Под ред. М.Э. Эглит. М.: Московский лицей.Т. 1. 1996. 396 с. Т. 2. 1996. 396 c.
21. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.
22. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во Московского университета. 2023. 666 с.
23. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления с приложениями к механике. Современная математика. Фундаментальные направления. РУДН. 2015. Т. 55. С. 3-194.
24. Nikabadze M.U. Topics on tensor calculus with applications to mechanics. In: J. Math. Sci., 225(1). New York: Springer Science+Business Media. 2017, pp. 1-194.
25. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
26. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
27. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 386 с.
28. Победря Б.Е. Новая постановка задачи механики деформируемого твёрдого тела в напряжениях // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253, № 2. С. 295-297.
29. Победря Б.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твёрдого тела // Проблемы механики: Сб. статей к 90-летию со дня рожд. А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 635-657.
30. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
31. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 366 с.
32. Победря Б.Е.,Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 204 с.
33. Победря Б.Е.,Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Изд-во ФАН. 1988. 200 с.
34. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
35. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.
36. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: ГИФМЛ, 1961. 220 с.
37. Сокольников И.С Тензорный анализ, теория и применение в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 374 с.
38. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.
39. Треффц Е. Математическая теория упругости. Л.-М.: ГТТИ, 1934. 172 с.
40. Федерман А.О. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производыми первого порядка // Изв. Санкт-Петербургского политехн. ин-та. Отд. техн., естествозн. и мате-мат. 1911. Т. 16. С. 97-155.
41. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 364 с.
42. Чёрный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.
43. Эйлер Л. Новый метод определения движения твердых тел / Л. Эйлер. // Novi commentarii Acad. sci. imp. Petrop., p. 20, 1775, p. 208–238, 1776 (Opera omnia, II — p. 9). (На латинском языке).
44. Buckingham E. Model experiments and the forms of empirical equations // Trans. Amer. Soc. of Mech. Eng. 1915. V.37. P. 263-288.
45. Green A.E., Zerna W. Theoretical Elasticity.-N.-Y.: Dover Publ. INC, 1968. 457 p.
46. Eringen A.C. Microcontinuum field theories. 1. Foundation and solids. N.Y.: Springer, 1999.
47. Michell J.H. On the direct determination of stress in an elastic solid, with applications to the theory of plates. Proc. London Math. Soc., Vol. 31, 1900, pp. 100-124.
48. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной механики: пер. с англ. М.: Мир, 1976, 576 с.
49. Trusdell C.A. Rational Thermodynamics. New York: Springer-Verlag, 1984, 578 p.
50. Trusdell C.A. The Elements of Continuum Mechanics. N.Y.: Springer-Verlag,1985, 279 p.
51. Trusdell C.A., Noll W. The Nonlinear-Field Theories of Mechanics. Springer, 2010, 600 p.
52. Курс лекций, прочитаный лектором. Осенний семестр. 2023.
ауд. 404
I. Осенний семестр
1. Определитель Грама. Декартова система координат. Дельта Кронекера. Символы Леви-Чивиты и их некоторые свойства.
2. Криволинейная система координат. Координатные линии и поверхности. Ковариантные и контравариантные базисы. Фундаментальная матрица и обратная к ней матрица. Дискриминантный тензор и его компоненты. Свойства компонент дискриминантного тензора. Формулы связи между ковариантными и контравариантными базисными векторами с помощью компонент дикриминантного тензора.
3. Единичный тензор второго ранга и его компоненты в различных базисах (доказательство единственности). Изотропный тензор второго ранга. Изотропные (базисные) тензоры четвертого ранга. Представления произвольного изотропного тензора четвертого ранга при различных симметриях его компонент. Единичный тензор четвертого ранга. Формулы преобразования компонент тензоров при переходе от одной системы координат к другой.
4. Определитель тензора второго ранга и его выражение с помощью компонент дискриминантного тензора, а также символов Леви-Чивиты. Тензор алгебраических дополнений (тензор кофакторов) для тензора второго ранга и его выражение с помощью компонент дискриминантного тензора. Обратный тензорный признак (или теорема о делении тензора).
5. Обратный тензор к тензору второго ранга и его выражение с помощью компонент дискриминантного тензора. Формулировки задач на собственные значения для тензора второго и четвертого ранга. Их характеристические уравнения и канонические представления. Канонический (главный) базис и главные направления. Инварианты тензоров второго и четвертого ранга. Выражения классических инвариантов (имеющихся в характеристическом уравнении) тензоров второго и четвертого ранга через первые инварианты их степеней и обратно. Теорема Гамильтона-Кели.
6. Представление тензора в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров, а также в виде суммы шарового тензора и тензора девиатора. Сопутствующий кососимметричному тензору вектор. Формулы связи между кососимметричным тензором и сопутствующим ему вектором. Ортогональный тензор (тензор поворота) и его представление с помощью угла поворота и единичного направляющего вектора оси вращения. Условие ортогональности двух тензоров. Канонические представления кососимметричного и ортогонального тензоров.
7. Деривационные формулы для ковариантных и контравариантных базисных векторов. Символы Кристоффеля первого и второго рода и их выражения через компоненты единичного тензора второго ранга. Ковариантные и контравариантные производные от компонент тензора второго ранга. Условия коммутативности повторных ковариантных производных от компонент тензора. Тензор кривизны Римана-Кристоффеля.
8. Набла-оператор Гамильтона. Градиент, дивергенция и ротор от тензора. Тензор-оператор несовместности от тензора второго ранга. Его выражение и различные эквивалентные формы равенства нулю.
9. Положительно-определенный тензор. Теорема о полярном разложении тензора. Доказать, что тензоры Q·QT и QT·Q, где Q – произвольный невырожденный тензор второго ранга, положительно-определенные, и имеют одни и те же характеристические уравнения, а также – одни и те же собственные значения.
10. Условия совместности деформации. Тензор несовместности и его связь с тензором кривизны Римана-Кристоффеля. Различные представления условия совместности деформации. Формулы Чезаро. Условия совместности деформации Сен-Венана в случае малых деформаций.
11. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского. Понятие потока вектора через поверхность. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему.
12. Упругая среда. Линейно-упругая среда. Определяющие соотношения (обобщенный закон Гука) для произвольной анизотропной линейно упругой среды. Определяющие соотношения (закон Гука) для изотропной линейно-упругой среды при изотермических и неизотермических процессах. Принцип Дюгамеля-Неймана. Обратные определяющие соотношения. Физический смысл коэффициентов, входящих в закон Гука.
13. Свободная энергия и первая форма записи определяющих соотношений. Термодинамический потенциал Гиббса и вторая форма записи определяющих соотношений. Внутренняя энергия и третья форма записи определяющих соотношений.
14. Количество независимых констант тензора модулей упругости в случае произвольной анизотропной среды. Частные случаи анизотропии. Выражения свободная энергии, термодинамического потенциала Гиббса, внутренней энергии и соответствующих определяющих соотношений в случае изотропных, трансверсально-изотропных и ортотропных тензоров модулей упругости.
15. Уравнения Бельтрами-Мичелла (уравнения относительно тензора напряжений) со симметричным и несимметричным тензор-операторами. Классическая и новая (или постановка Победри) постановки краевых задач относительно тензора напряжений. О Функциях напряжений.
16. Уравнения движения и равновесия Навье-Ламе для изотропных линейно-упругих сред. Уравнения движения и равновесия относительно вектора перемещений для произвольной анизотропной линейно-упругой однородной и неоднородной сред. Тензор-операторы уравнений движения и равновесия относительно вектора перемещений.
17. Тензор-оператор кофакторов к тензор-оператору уравнения движения относительно вектора перемещений в случае однородной изотропной среды. Определитель тензор-оператора уравнений движения. Расщепление уравнения движения относительно вектора перемещений.
18. Различные типы граничных условий классической теории упругости. Тензор-оператор напряжения статических граничных условий. О расщеплении статических граничных условий. Постановки начально-краевых задач классической теории упругости при изотермических процессах.
19. Теорема живых сил (теорема о кинетической энергии) для классической и микрополярной сплошных сред. Работа внутренних поверхностных сил и моментов.
20. Закон сохранения энергии – Первый закон термодинамики. Формулировка закона сохранения энергии для конечного индивидуального объема для классической и микрополярной сплошных сред. Мощность внешних сил и моментов. Приток тепла. Теплопроводность. Вектор потока тепла.
21. Дифференциальное уравнение полной энергии классической и микрополярной сплошных сред. Уравнение внутренней энергии. Закон теплопроводности Фурье для изотропной и анизотропной среды. Различные типы граничных условий теплового содержания.
22. Второй закон термодинамики классической и микрополярной сплошных сред. Обратимые и необратимые процессы. Приток энтропии извне и производство энтропии.
23. Формулировка второго закона термодинамики для конечного индивидуального объема классической и микрополярной сплошных сред. Дифференциальное уравнение энтропии. Производство энтропии. Уравнение притока тепла классической и микрополярной сплошных сред.
24. Постановки связанных и несвязанных начально-краевых задач классической и микрополярной сплошных сред.
25. Принцип виртуальных перемещений. Функционал Лагранжа. Вариационный принцип Лагранжа.
26. Функционал Кастильяно. Вариационный принцип Кастильяно. Функционал Рейснера и его свойства.
27. Теорема Клайперона о работе деформации. Теорема о единственности решения статической задачи теории упругости.
28. Локальное и интегральное тождества Бетти (три формулы Бетти). Теоремы взаимности. Примеры практического применения теорем взаимности.
29. Тензор Грина. Теорема Максвелла о симметрии тензора Грина.
30. Формулы Грина (представление решения статической краевой задачи теории упругости через тензор Грина и входные данные задачи).
31. Формулы Сомилианы (представление решения статической краевой задачи через заданные на всей поверхности тела перемещения или через заданную на всей поверхности тела распределённую нагрузку).
32. Формулы представления решения задачи для неоднородного тела через решение такой же задачи для однородного тела той же самой формы.
33. Частные решения уравнений Ламе. Метод Треффца. Представление решения Папковича-Нейбера. Представление решения Галеркина. Вектор Галеркина.
34. Действие сосредоточенной силы в неограниченном упругом пространстве. Задача Кельвина. Решение Кельвина. Тензор перемещений Кельвина и его симметрия. Тензор напряжений Кельвина.
35. Решения уравнений Ламе с особенностями высшего порядка. Матрица источников. Двойная сила без момента. Центр дилатации. Двойная сила с моментом. Центр вращения. Решение для полуоси, состоящей из центров дилатации.
36. Осесимметричное распределение напряжений. Функции Буссинеска.
37. Задача Буссинеска.