Броуновское движение, стохастический анализ и финансовая математика

Исторически сложилось, что финансовая математика неразрывно связана с теорией случайных процессов в непрерывном времени. Наачало обеих теорий было положено в 1900 году диссертацией "Теория спекуляции" Луи Башелье, который предложил использовать для описания эволюции цен на финансовом рынке вероятностную модель, которая впоследствии стала называться винеровским процессом. Луи Башелье установил ряд свойств этого процесса, вычислил ряд его характеристик и предложил методологию вычисления цен некоторые контрактных обязательств. В настоящее время наиболее распространённой является модель, в которой эволюция цены описывается геометрическим броуновским движением, т.е. логарифм цены финансового актива моделируется винеровским процессом. В рамках этой модели в 1973 году Фишер Блэк и Майрон Шоулс предложили методологию расчёта цен опционов (или так называемых "деривативов"), основанную на идее хеджирования выплаты по опциону терминальной стоимостью самофинансирующего портфеля.

Цель просеминарa (включающего курс лекций и сопровождающий его семинар) состоит в ознакомлении студентов с основными понятиями теории винеровского процесса, называемого также броуновским движением, связанной с ней теорией стохастического интегрирования и их использованию для решения финансовых задач В курсе излагаются основные идеи построения стохастического интеграла Ито, играющего фундаментальную роль в описании динамики цен, выводится формула Ито, доказывается теорема существования решения стохастического дифференциального уравнения, изучаются свойства решения линейного уравнения (так называемая стохастическая экспонента), устанавливается теорема Гирсанова о замене вероятностной меры и обсуждается теорема о предсказуемом представлении. Последние из перечисленных результатов делают знаменитую формулу Блэка-Шоулса очевидной. Перечисленная теория излагается в облегчённом варианте - упор делается на идеи доказательств. Помимо изложения теории хеджирования опционов, обсуждается задача Мертона об оптимальном управлении портфелем (задача инвестиций и потребления), а также так называемая задача парного трейдинга, для которых выведены и решены уравнения Беллмана.
Курс содержит элементы теории арбитража в дискретном веремени, основанной на концепции эквивалентной мартингальной меры и стохастического дефлятора.

Необходимо отметить одну особенность курса: используемый математический аппарат (теория вероятностей, теория меры, ряды Фурье) преподаются практически одновременно в обязательных курсах, а иногда даже только начнут преподаваться в будущем. Предполагается, что при надлежащей работе эта особенность обернётся пользой, мотивируя студентов к более тщательному изучению указанных классических дисциплин.

Разумеется, многие изучаемые разделы впоследствии будут существенно углублены на спецкурсах кафедры теории вероятностей.