Седьмая проблема Гильберта

Седьмая проблема Гильберта --- одна из 23 проблем, поставленных в 1900г. Д.Гильбертом c целью определить будущие пути развития математики. Проблема связана с доказательством трансцендентности чисел определённого вида, например, 2^√2 или e^π= 〖(-1)〗^(-i) и в общем случае a^b с алгебраическими числами a, b причём a отлично от 0 и 1, b иррационально. Эквивалентная формулировка – трансцендентность логарифмов алгебраических чисел при алгебраическом основании за некоторыми очевидными исключениями. Проблема была решена полностью в 1934г. А.О. Гельфондом и чуть позднее Т.Шнейдером. Впоследствии были получены результаты о трансцендентности чисел, связанных с эллиптическими функциями (Шнейдер). Они, как и экспоненты имеют периоды, но множество периодов, в отличие от экспоненциального случая, порождается двумя независимыми числами. Эллиптические результаты привели к доказательству трансцендентности некоторых значений гамма-функции Эйлера в рациональных точках (Шнейдер, Ленг, Чудновский). Результаты о значениях экспоненциальных функций получили многомерные обобщения (Гельфонд, Бейкер и др.). Здесь развитие теории трансцендентных чисел пошло по двум направлениям. Во-первых это вопросы линейной независимости натуральных логарифмов алгебраических чисел над полями алгебраических чисел и их количественные обобщения, имевшие многочисленные приложения к эффективному решению диофантовых уравнений и другим задачам. И во-вторых вопросы алгебраической независимости алгебраических степеней алгебраических чисел. Седьмая проблема Гильберта оказалась очень удачно поставленной задачей. Она не исчерпалась полным решением оригинальной постановки, но породила многочисленные направления исследований и привела к доказательствам новых интересных результатов и постановкам новых проблем. В спецкурсе будет представлен обзор этой области теории трансцендентных чисел. Часть результатов будет сопровождаться полными доказательствами, для других же будут рассказаны лишь идеи их решения.