Случайные матрицы и матричная задача Римана–Гильберта
Название спецкурса на английском языке
Random matrices and matrix Riemann–Hilbert problem
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории функций и функционального анализа]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Унитарный ансамбль, его унитарная инвариантность. Гауссов унитарный ансамбль.
Формула Вейля для интегрирования по мере, определенной на векторах собственных значений матриц.
Совместная плотность распределения собственных значений унитарного ансамбля.
Маргинальные плотности (m-корреляционные функции). Детерминантный векторный случайный процесс.
Представление совместной плотности распределения собственных значений унитарного ансамбля в виде энергии логарифмического потенциала.
Общие свойства экстремальной меры задачи минимизации энергии во внешнем поле. Экстремальная мера для квадратичного внешнего поля.
Глобальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля.
Матричная задача Римана–Гильберта для ортогональных многочленов. Постановка задачи, существование и единственность решения.
Схема решения матричной задачи Римана–Гильберта (при n → ∞) .
Локальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля «внутри» спектра.
Локальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля «с краю» спектра.
Гауссовы унитарные ансамбли - многочлены Эрмита, распределение «полукруга», универсальность, различные режимы (факультативно).
Формула Вейля для интегрирования по мере, определенной на векторах собственных значений матриц.
Совместная плотность распределения собственных значений унитарного ансамбля.
Маргинальные плотности (m-корреляционные функции). Детерминантный векторный случайный процесс.
Представление совместной плотности распределения собственных значений унитарного ансамбля в виде энергии логарифмического потенциала.
Общие свойства экстремальной меры задачи минимизации энергии во внешнем поле. Экстремальная мера для квадратичного внешнего поля.
Глобальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля.
Матричная задача Римана–Гильберта для ортогональных многочленов. Постановка задачи, существование и единственность решения.
Схема решения матричной задачи Римана–Гильберта (при n → ∞) .
Локальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля «внутри» спектра.
Локальный режим предельного поведения (при n → ∞) собственных значений унитарного ансамбля «с краю» спектра.
Гауссовы унитарные ансамбли - многочлены Эрмита, распределение «полукруга», универсальность, различные режимы (факультативно).
Список источников
P. Deift, Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann–Hilbert approach,
Courant Lect. Notes Math., 3, New York University, Courant Institute of Mathematical
Sciences, New York; Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, viii+273 pp.
А. И. Аптекарев, А. Б. Э. Койэлаарс, Аппроксимации Эрмита–Паде и ансамбли
совместно ортогональных многочленов, Успехи математических наук, т. 66 (2011), вып. 6 (402), 123–190.
Courant Lect. Notes Math., 3, New York University, Courant Institute of Mathematical
Sciences, New York; Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, viii+273 pp.
А. И. Аптекарев, А. Б. Э. Койэлаарс, Аппроксимации Эрмита–Паде и ансамбли
совместно ортогональных многочленов, Успехи математических наук, т. 66 (2011), вып. 6 (402), 123–190.
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
1613
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1613
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.