Алгебры Хопфа (введение)
1) алгебра (1 курс);
2) линейная алгебра и геометрия;
3) алгебра (2 курс; владение, либо параллельное изучение вместе со спецкурсом).
Алгебры, коалгебры, биалгебры и алгебры Хопфа
Группоподобные и примитивные элементы
Категории, функторы и естественные преобразования. Сопряжённые функторы
Алгебра Свидлера. Алгебры Тафта. Модули и комодули
(Ко)модульные алгебры. Квантовые симметрии. Примеры
Фундаментальная теорема о коалгебрах и комодулях
Алгебра, двойственная к коалгебре. Коалгебра, конечная двойственная к алгебре
Сопряжённые функторы, связанные с двойственностью
Косвободная коалгебра
Мономорфизмы, эпиморфизмы, (ко)пределы в категории алгебр Хопфа
(Ко)свободные алгебры Хопфа, построенные по (ко)алгебре
2) Dăscălescu, S., Năstăsescu, C., Raianu, Ș. Hopf algebras: an introduction.
3) Abe, E. Hopf algebras.
4) Sweedler, M. Hopf algebras.
5) (Ко)модульные алгебры и их обобщения (рукопись монографии)
6) Majid, S. Foundations of quantum group theory.
7) Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.
8) Маклейн С. Категории для работающего математика.
Полугодовой спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом и другими понятия «квантовой группы». (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. (Ко)действия алгебры Хопфа на алгебрах можно интерпретировать как «квантовые симметрии» некоторых необязательно коммутатативных многообразий. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в самых различных областях алгебры, топологии, геометрии, комбинаторики, функционального анализа и теоретической физики.
Страница спецкурса на сайте кафедры: https://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/s_k_hopf_algebras_2026_2027
Страница спецкурса на Google-сайтах: https://sites.google.com/view/alexey-sergeevich/20262027-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B-%D1%85%D0%BE%D0%BF%D1%84%D0%B0