"Дикие" объекты в топологии
Название спецкурса на английском языке
"Wild" objects in topology
Пререквизиты
Владение матанализом в объеме первого курса
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра общей топологии и геометрии]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Теорема Бэра о категории и ее роль в математике.
Пространство непрерывных функций из [0;1] в R. Типичная функция нигде не дифференцируема. Примеры.
Канторово множество. Примеры канторовых множеств с многомерными проекциями. Ручные и дикие канторовы множества. Теорема Борсука. Вопросы Кобба о канторовых множествах. Частичные ответы на них. Открытые вопросы.
Пример Борсука: узел в R^3, проекции которого на все плоскости двумерны. Примеры диких узлов. Пространство узлов в R^3. Теорема Милнора: типичный узел в R^3 является диким (идея доказательства). Теорема Боте: типичный узел в R^3 является диким в каждой своей точке (формулировка). Пример Бинга: узел, дикий в каждой точке.
Метрика Хаусдорфа. Пространство непустых компактных подмножеств R^N. Типичный непустой компакт в R^N гомеоморфен канторову множеству.
Пространство канторовых множеств в R^N. Типичное канторово множество в R^N является ручным.
Континуумы. Пространство континуумов в R^N. Пример неразложимого плоского континуума. Типичный континуум в R^N наследственно неразложим.
Псевдодуга. Ее свойства. Типичный континуум в R^N является псевдодугой.
Кривая Серпинского. Свойство универсальности. Характеризация континуумов, являющихся непрерывным образом отрезка. Образ отрезка под действием типичного непрерывного отображения в плоскость гомеоморфен
универсальной кривой Серпинского.
Пространство непрерывных функций из [0;1] в R. Типичная функция нигде не дифференцируема. Примеры.
Канторово множество. Примеры канторовых множеств с многомерными проекциями. Ручные и дикие канторовы множества. Теорема Борсука. Вопросы Кобба о канторовых множествах. Частичные ответы на них. Открытые вопросы.
Пример Борсука: узел в R^3, проекции которого на все плоскости двумерны. Примеры диких узлов. Пространство узлов в R^3. Теорема Милнора: типичный узел в R^3 является диким (идея доказательства). Теорема Боте: типичный узел в R^3 является диким в каждой своей точке (формулировка). Пример Бинга: узел, дикий в каждой точке.
Метрика Хаусдорфа. Пространство непустых компактных подмножеств R^N. Типичный непустой компакт в R^N гомеоморфен канторову множеству.
Пространство канторовых множеств в R^N. Типичное канторово множество в R^N является ручным.
Континуумы. Пространство континуумов в R^N. Пример неразложимого плоского континуума. Типичный континуум в R^N наследственно неразложим.
Псевдодуга. Ее свойства. Типичный континуум в R^N является псевдодугой.
Кривая Серпинского. Свойство универсальности. Характеризация континуумов, являющихся непрерывным образом отрезка. Образ отрезка под действием типичного непрерывного отображения в плоскость гомеоморфен
универсальной кривой Серпинского.
Список источников
Дж. Окстоби. Мера и категория. М.: Мир, 1974.
Л. В. Келдыш, “Топологические вложения в евклидово пространство”, Тр. МИАН СССР, 81 (1966), 3–184.
B. Rushing Topological embeddings. 1973.
R.J. Daverman, D.A. Venema. Embeddings in Manifolds. 2009.
Л. В. Келдыш, “Топологические вложения в евклидово пространство”, Тр. МИАН СССР, 81 (1966), 3–184.
B. Rushing Topological embeddings. 1973.
R.J. Daverman, D.A. Venema. Embeddings in Manifolds. 2009.
Дополнительная информация
Курс служит мини-введением сразу в несколько разделов топологии: теория континуумов; теория вложений; теорема Бэра. На конкретных --- известных и важных --- примерах будет показано, что во многих ситуациях ``странные'' объекты являются ``типичными'' с точки зрения теоремы Бэра. Студенты не просто разбирают примеры и формулировки, а учатся размышлять над их ролью, значением, взаимосвязями. Курс может быть предложен студентам-математикам, начиная со 2 курса. Он интересен и как самостоятельный, и как дополнительный к обязательному курсу ``Введение в топологию'', читаемому в 3 семестре.
День недели
суббота
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.