Рациональные приближения в комплексной плоскости и приложения

Спецкурс предназначен для студентов, интересующихся анализом.
Может рассматриваться одновременно как введение, так и как доп. главы к обязательным курсам комплексного и функционального анализа.
Хотя курс является продолжением прошлого семестра, но материал будет независим – можно слушать и сдавать, как семестровый спецкурс.
Ключевая конструкция – диагональные аппроксимации Паде и их связь с ортогональными многочленами. Будут рассмотрены приложения: в спектральной теории операторов, дискретных интегрируемых системах и случайных матрицах.

Программа:

1 Аппроксимации Паде (АП) в окрестности бесконечной точки.
1.1. Определения и нормальность.
1.2. Рекуррентные соотношения и непрерывные дроби.
1.3. Связь АП и их обобщений с Ортогональными Многочленами (ОМ-ми)

2 Общие ОМ.
2.1. АП марковских функций, моменты меры, ОМ-ы явный вид, рекуррентные соотношения.
2.2. Формула Кристоффеля-Дарбу, Коэффициенты Кристоффеля, Квадратуры Гаусса-Якоби, свойства нулей ОМ-ов.
2.3. Теорема Маркова о сходимости диагональных АП марковских функций.

3 Классические Ортогональные Многочлены (КОМ-ы).
3.1.Уравнение Пирсона, классификация КОМ-ов.
3.2. Дифференциальное уравнения для КОМ-ов.
3.3. Формула Родрига, явный вид и производящие функции КОМ-ов.

4 Асимптотики ОМ-ов.
4.1.Общий вид асимптотик общих ОМ.
4.2. Метод Дарбу и асимптотики многочленов Лежандра.
4.3. Метод Лиувилля-Стеклова и асимптотики многочленов Лежандра.