Геометрия и топология гамильтоновых систем
Симплектическая геометрия в евклидовом пространстве
Симплектические многообразия
Интегрируемые гамильтоновы динамические системы
Тема 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГРУППАХ ЛИ И АЛГЕБРАХ ЛИ
Матричные группы как гладкие многообразия и как группы Ли. Алгебра Ли
и ее связь с группой Ли. Матричные группы малых размерностей.
Тема 2. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Линейная симплектическая структура. Изотропность, лагранжевость. Группа симплектических преобразований.
Тема 3. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Симплектическая структура на многообразии. Теорема Дарбу. Канонические симплектические координаты. Примеры симплектических многообразий (кокасательные расслоения и т.п.). Косой градиент и гамильтоновы векторные поля (динамические системы). Связь с потенциальными векторными полями. Лемма Пуанкаре. Несжимаемые потоки идеальной жидкости. Комплексные потенциалы. Скобка Пуассона и ее основные свойства. Тождество Якоби для скобки Пуассона.
Тема 4. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Интегралы гамильтоновых полей. Инволютивность. Теорема Лиувилля. Полная
интегрируемость по Лиувиллю. Отображение момента интегрируемой системы.
Бифуркации торов Лиувилля и топология интегрируемой системы. Уравнения
движения тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве (уравнения
Эйлера-Пуассона). Знаменитые случаи интегрируемости: случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.