Инвариантные многообразия механических систем

Название спецкурса на английском языке
Invariant manifolds of mechanical systems
Авторы курса
Кугушев Евгений Иванович
Пререквизиты
математический анализ, алгебра, линейная алгебра и геометрия, аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, теоретическая механика
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра теоретической механики и мехатроники]
Семестр
Полгода (осень)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Разбиение единицы на гладком компактном многообразии.
Теоремы Уитни и Нэша о вложении гладкого и риманового многообразия в R^n.
Ориентируемость гладкого многообразия и многообразия уровня в R^n.
Ориентирующее накрытие. Механическая система с неориентируемым конфигурационным пространством.
Реализация натуральной механической системы с заданным конфигурационным многообразием.
Теорема Кемпе. Стержневая реализация двухмерной сферы.
Реализация механической системы с заданным инвариантным многообразием и векторным полем на нем.
Инвариантные многообразия уровня первых интегралов волчка Эйлера и волчка Эйлера с эксцентриком.
Инвариантные многообразия уровня интеграла энергии и интегралов линейных по скоростям.
Инвариантные множества и их устойчивость.
Теорема Гробмана-Хартмана и теорема о центральном многообразии.
Категория Люстерника-Шнирельмана, вариационные теоремы, пример применения в механике.
Конечномерные группы Ли. Геометрия конечномерной компактной абелевой группы Ли.
Переменные действие-угол гамильтоновой системы. Теоремы Лиувилля-Арнольда.
Две теоремы Вейля о среднем.
Введение в КАМ теорию.
Теоремы о локализованных решениях.
Список источников
Е.И.Кугушев. Инвариантные многообразия механических систем. Конспекты лекций.
Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М., МГУ, 1983.
Болотин С. В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М.: Академия, 2010.
Ковалев М. Д. Геометрические вопросы кинематики и статики. М., ЛЕНАНД, 2019.
Дополнительная информация

Цель спецкурса - краткий обзор классических и современных результатов о том, какие инвариантные многообразия могут быть у реальных механических систем. Изучение инвариантных многообразий важно, по крайней мере, по двум причинам. Во-первых, размерность инвариантного многообразия меньше, чем размерность фазового пространства. Поэтому иногда свойства движения системы на инвариантных многообразиях описать проще, чем в общем виде. Пример – лиувиллевы торы с условно-периодическим движением на них. Во-вторых, геометрия многообразий накладывает ограничения на свойства траекторий движения и позволяет описывать эти свойства. Пример – векторное поле на сфере всегда имеет особую точку (положение равновесия).
Задача рассматривается в двух постановках. В прямой постановке: дана механическая система, нужно исследовать какие у нее есть инвариантные многообразия. В обратной постановке: дано инвариантное многообразие, требуется найти реальную механическую систему с таким конфигурационным многообразием или систему, имеющую такое инвариантное многообразие.
В спецкурсе также будут рассмотрены и другие вопросы, связанные с наличием гладких многообразий, выявляемых при изучении механических систем.

День недели
четверг
Время
15:00-16:35
Аудитория
463
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
463
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.