Инвариантные многообразия механических систем
Теоремы Уитни и Нэша о вложении гладкого и риманового многообразия в R^n.
Ориентируемость гладкого многообразия и многообразия уровня в R^n.
Ориентирующее накрытие. Механическая система с неориентируемым конфигурационным пространством.
Реализация натуральной механической системы с заданным конфигурационным многообразием.
Теорема Кемпе. Стержневая реализация двухмерной сферы.
Реализация механической системы с заданным инвариантным многообразием и векторным полем на нем.
Инвариантные многообразия уровня первых интегралов волчка Эйлера и волчка Эйлера с эксцентриком.
Инвариантные многообразия уровня интеграла энергии и интегралов линейных по скоростям.
Инвариантные множества и их устойчивость.
Теорема Гробмана-Хартмана и теорема о центральном многообразии.
Категория Люстерника-Шнирельмана, вариационные теоремы, пример применения в механике.
Конечномерные группы Ли. Геометрия конечномерной компактной абелевой группы Ли.
Переменные действие-угол гамильтоновой системы. Теоремы Лиувилля-Арнольда.
Две теоремы Вейля о среднем.
Введение в КАМ теорию.
Теоремы о локализованных решениях.
Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М., МГУ, 1983.
Болотин С. В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М.: Академия, 2010.
Ковалев М. Д. Геометрические вопросы кинематики и статики. М., ЛЕНАНД, 2019.
Цель спецкурса - краткий обзор классических и современных результатов о том, какие инвариантные многообразия могут быть у реальных механических систем. Изучение инвариантных многообразий важно, по крайней мере, по двум причинам. Во-первых, размерность инвариантного многообразия меньше, чем размерность фазового пространства. Поэтому иногда свойства движения системы на инвариантных многообразиях описать проще, чем в общем виде. Пример – лиувиллевы торы с условно-периодическим движением на них. Во-вторых, геометрия многообразий накладывает ограничения на свойства траекторий движения и позволяет описывать эти свойства. Пример – векторное поле на сфере всегда имеет особую точку (положение равновесия).
Задача рассматривается в двух постановках. В прямой постановке: дана механическая система, нужно исследовать какие у нее есть инвариантные многообразия. В обратной постановке: дано инвариантное многообразие, требуется найти реальную механическую систему с таким конфигурационным многообразием или систему, имеющую такое инвариантное многообразие.
В спецкурсе также будут рассмотрены и другие вопросы, связанные с наличием гладких многообразий, выявляемых при изучении механических систем.