Дискретный оператор Шредингера и ортогональные многочлены
Название спецкурса на английском языке
Discrete Schroedinger operator and orthogonal polynomials
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
1-2 курс
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории функций и функционального анализа]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2025/26
Список тем
Оператор матрицы Якоби. Оператор резольвенты. Операторная и скалярная спектральные меры. Полиномиальный ортонормированный базис в пространстве функций, квадратично интегрируемых по спектральной мере.
Проблема моментов. Разрешимость проблемы моментов. Определенность и неопределенность проблемы моментов. Самосопряженность неограниченных операторов матрицы Якоби. Теорема Вейля о компактных возмущениях.
Прямая и обратная спектральная задача, процедуры их решения. Метод обратной спектральной задачи для решения некоторых нелинейных разностных уравнений.
Поведение ортонормированных многочленов (при росте их степени) на спектре и вне его. Проблема Стеклова. Понятие о задаче рассеяния для оператора матрицы Якоби.
Формулировка теоремы об асимптотике ортогональных многочленов (при росте их степени) и решение задачи рассеяния.
Схема доказательства теоремы Сеге-Видома об асимптотике ортогональных многочленов.
Проблема моментов. Разрешимость проблемы моментов. Определенность и неопределенность проблемы моментов. Самосопряженность неограниченных операторов матрицы Якоби. Теорема Вейля о компактных возмущениях.
Прямая и обратная спектральная задача, процедуры их решения. Метод обратной спектральной задачи для решения некоторых нелинейных разностных уравнений.
Поведение ортонормированных многочленов (при росте их степени) на спектре и вне его. Проблема Стеклова. Понятие о задаче рассеяния для оператора матрицы Якоби.
Формулировка теоремы об асимптотике ортогональных многочленов (при росте их степени) и решение задачи рассеяния.
Схема доказательства теоремы Сеге-Видома об асимптотике ортогональных многочленов.
Список источников
Е.М. Никишин, В.Н. Сорокин, ``Рациональные аппроксимации и ортогональность'', Наука, Москва, 1988.
М. Рид, Б. Саймон, ``Методы современной математической физики'', т.1 - Функциональный анализ, Мир, Москва, 1977.
Н.И. Ахиезер, ``Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею'', ФизМатГиз, Москва, 1961.
H. Widom, ``Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane'', Adv. Math. 3 (1969), 127-232.
М. Рид, Б. Саймон, ``Методы современной математической физики'', т.1 - Функциональный анализ, Мир, Москва, 1977.
Н.И. Ахиезер, ``Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею'', ФизМатГиз, Москва, 1961.
H. Widom, ``Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane'', Adv. Math. 3 (1969), 127-232.
День недели
вторник
Время
16:45-18:20
Аудитория
1613
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1613
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.