Динамические системы

Векторные поля на многообразиях, теорема о выпрямлении векторного поля. Коммутатор векторных полей. Условия интегрируемости системы типа Майера-Фробениуса. Следствия условий интегрируемости: существование локальных евклидовых координат на римановом многообразии, когда тензор кривизны Римана равен нулю.
Теорема Фробениуса об интегрируемости дифференциальной системы на многообразии. Пример неголономной системы: динамика конька Чаплыгина на наклонной плоскости, механическая интерпретация теоремы Фробениуса.
Примеры задач, приводящих к отображениям, сохраняющим меру. Оператор Купмана. Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина. Следствия теоремы Биркгофа-Хинчина.
Эргодическая теорема Неймана.
Эргодическая теорема Иосиды.
Обобщенная теорема Массера о существовании периодического решения линейной неоднородной системы в банаховом пространстве.
Определение эргодичности. Теорема Каца (без доказательства). Элементарные свойства эргодических систем: всюду плотность траекторий.
Эргодичность в терминах первых интегралов и инвариантных множеств.
Эргодичность квазипериодического потока на торе и треугольного отображения.
Определение полугруппы отображений метрического пространства. Определение ω−предельного множества. Примеры.
Основные свойства ω−предельного множества. Аттрактор. Примеры. Теорема Ла-Салля.
ω−предельное множество в конечномерных системах. Теоремы об устойчивости Красовского и Барбашина-Красовского.
Задача о вложении диффеоморфизма в поток. Метод непрерывного усреднения.
Теорема о вложении диффеоморфизма в поток. Доказательство теоремы о вложении диффеоморфизма в поток: теорема Ниринберга-Нишиды
Негладкие динамические системы. Дифференциальные включения, регуляризация по Филиппову.
Задачи механики с сухим трением.
Расщепление сепаратрис, интеграл Пуанкаре-Мельникова, интеграл Пуанкаре-Мельникова в гамильтоновых системах. Задача о маятнике Уитни и ее обобщения. Метод Важевского. Вариационная задача Лагранжа, брахистохроны в неголономных системах.