1613

Математические константы, последовательности специальных чисел: Бернулли, Эйлера, Стирлинга.
Комплексный анализ и асимптотические методы.
Гамма, Пси, Бета и Дзета функции.

Лакунарные тригонометрические ряды и их свойства.
Тригонометрические ряды с монотонными коэффициентами и их свойства.
Асимптотика сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами вблизи нуля.

Свободные группы. Теорема Нильсена-Шрайера
Теория Галуа. Основная теорема теории Галуа. Критерий разрешимость Галуа
Модули. Конечно порожденные модули над кольцами главных идеалов

Динамические системы и условие их консервативности. Фазовое пространство автономных систем. Структура фазовой плоскости систем второго порядка. Динамика совместного существования видов. Метод фазовой плоскости в задаче «хищник – жертва».
Бифуркации положений равновесия консервативных систем на фазовой плоскости. Задача о маятнике на вращающемся основании
Предельные циклы. Критерий Бендиксона-Дюлакаотсутствия замкнутых траекторий. Теория индексов Пуанкаре и законы совместного существования положений равновесия и замкнутых траекторий на фазовой плоскости
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Грубые системы. Теорема Андронова-Понтрягина. Бифуркации предельных циклов на фазовой плоскости
Структура решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Системы с постоянными коэффициентами и устойчивость по первому приближению
Фундаментальная система решений уравнения свободных колебаний линейного осциллятора. Наискорейшее затухание колебаний. «Период» и логарифмический декремент затухающих колебаний. Свободные колебания осциллятора с сухим (кулоновым) трением.
Вынужденные колебания линейного осциллятора. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики
Матричная форма уравнений консервативных систем. Теория малых колебаний
Уравнения Лагранжа с множителями для систем с голономными стационарными связями. Малые колебания консервативной системы со связью и способ отыскания ее частот при известных частотах свободной системы. Изменение частот консервативной системы при наложении связей
Экстремальные свойства собственных частот консервативных систем. Теорема Фишера-Куранта. Изменение частот при изменении жесткости и инерционности системы. Теорема Релея. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных малых колебаний
Влияние периодических сил на малые колебания консервативной системы. Принцип взаимности. Динамический гаситель колебаний, задачи виброзащиты и виброизоляции. Резонанс при вынужденных колебаниях. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных и вынужденных малых колебаний
Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке. Мультипликаторы Флоке и их свойства
Приводимость линейных систем с периодическими коэффициентами. Характеристические показатели. Теорема об устойчивости тривиального решения
Параметрические колебания. Уравнение Матье. Диаграмма Айнса-Стретта. Влияние вертикальной вибрации точки подвеса на устойчивость положений равновесия маятника. Моделирование начального этапа раскачивания качелей

Модифицированные уравнения Эйлера.
Прецессионные уравнения гироскопа в кардановом подвесе.
Карданов подвес ротора гироскопа. Кинематика карданова подвеса.
Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой.
Введение невращающейся системы координат.
Методы кинетостатики в динамике систем связанных тел.
Прецессионные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе.
Частные случаи движения гироскопа в кардановом подвесе.
Задача о гироскопе, ориентируемом на Полярную звезду.
Чувствительные элементы систем управления для определения вертикали на подвижном объекте. Гиромаятник.
Уравнения движения гиромаятника на неподвижном и подвижном основании.
Влияние вязкого и сухого трения на движение гиромаятника.
Наземный гироскопический компас.
Определение углов ориентации самолета с использованием астатического гироскопа

Постановка задачи и основные границы. Канал с ошибками и стираниями Код: алфавит, размерность, длина блока, минимальное кодовое расстояние. Связь расстояния с числом исправляемых ошибок. Скорость и относительное расстояние. Граница Синглтона. Граница Хэмминга. Объём шара Хэмминга, функция Шеннона, асимптотический вид границ для двоичного и произвольного алфавита. Граница Гилберта; граница Варшамова—Гилберта и жадный алгоритм.
Линейные коды и классические конструкции. Линейные коды. Коды Рида—Соломона и их декодирование от ошибок. Коды Хэмминга $[2^m-1,2^m-m-1,3]_2$ и $[2^m,2^m-m-1,4]_2$, кодирование и декодирование. Случайные линейные коды. Коды Возенкрафта. Коды Рида—Маллера и их кодовое расстояние. Коды БЧХ; связь БЧХ с кодами Хэмминга.
Каскадные коды и явные асимптотически хорошие коды. Каскадное кодирование. Полиномиальное декодирование каскадных кодов от $(d-1)/2$ ошибок. Теорема Форни. Коды Форни—Возенкрафта—Юстесена. Коды с малой плотностью проверок на чётность (LDPC) и их связь с экспандерами.
Верхние границы параметров кода. Геометрические леммы для границ Плоткина. Первая граница Плоткина. Вторая граница Плоткина для двоичного и для произвольного алфавита. Улучшенная граница Синглтона. Граница Джонсона. Граница Элайеса—Бассалыго.
Декодирование списком и локальные алгоритмы. Коды Адамара и расширенные коды Адамара; рандомизированное декодирование за время $\mathrm{poly}(\log n)$. Декодирование списком: определение, объёмная граница, теорема Элайеса как достаточное условие. Кодовое расстояние и декодирование списком. Декодирование списком кодов Адамара со списком постоянного размера; теорема Голдрайха—Левина. Декодирование списком кодов Рида—Соломона. Композиция Рида—Соломона с Адамаром и её декодирование списком.