[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]

Римановы поверхности (обзор). Определения. Фундаментальная группа. Гомологии и род. Униформизация. Линейные расслоения и дивизоры. Теорема Римана-Роха.
Конформные и почти-комплексные структуры. Определения. Геометрический смысл. Взаимно-однозначное соответствие (с учётом ориентации). Действие группы диффеоморфизмов.
Дифференциалы Бельтрами. Определение и смысл выражения μd¯z/dz. Норма дифференциала Бельтрами. Подправленный оператор Коши-Римана. Метрики вида |dz+μd¯z|^2. Пространство дифференциалов Бельтрами и единичный шар в нём.
Квадратичные дифференциалы. Определяемые ими кусочно-евклидовы метрики, площади и горизонтальные слоения. Штребелевы дифференциалы и разбиения поверхностей на цилиндры. Спаривание с дифференциалами Бельтрами. Аппроксимация произвольного квадратичного дифференциала штребелевыми.
Пространство Тайхмюллера. Определение как фактора единичного шара в пространстве дифференциалов Бельтрами по группе диффеоморфизмов, гомотопных тождественному. Касательное и кокасательное пространства. Комплексная структура. Связь с пространством модулей кривых.
Задача Тайхмюллера. Постановка задачи об экстремальном квазиконформном отображении данном гомотопическом классе. Существование и единственность решения. Набросок доказательства по Альфорсу. Полное доказательство с использованием штребелевых дифференциалов.
Дополнительные вопросы. Метрика Тайхмюллера и её совпадение с гиперболической метрикой. Автоморфизмы пространств Тайхмюллера. Геодезические диски. Частичные компактификации пространств Тайхмюллера.

Квантовая теория многочастичных систем: обзор проблематики и методов. Явление роста операторов. Метод рекурсий и гипотеза универсальности операторного роста. Компьютерно-алгебраическая имплементация метода рекурсий.
Формализм квантовой механики. Представления Шрёдингера и Гейзенберга. Операторы и супероператоры. Лиувиллиан. Тензорное произведение гильбертовых пространств и многочастичные системы. Корреляционные функции. Квантовый квенч.
Подпространство Крылова в пространстве операторов. Базис Ланцоша. Тридиагональная форма Лиувиллиана. Уравнения Гейзенберга в базисе Ланцоша. Метод рекурсий.
Необходимые сведения из теории ортогональных полиномов. Построение базиса Ланцоша с помощью ортогональных полиномов.
Матрица моментов. Выражение коэффициентов Ланцоша через моменты.
Явление роста операторов. Асимптотика и экстраполяция коэффициентов Ланцоша. Физические эффекты сублидирующих вкладов. Точно решаемые модельные лиувиллианы.
Преобразование Лапласа корреляционных функций и цепные дроби. Асимптотика корреляционной функции. Вычисление транспортных коэффициентов.
Спины на решётках. Квантовая модель Изинга. Вычисление корреляционных функций и транспортных коэффициентов.
Квантовые резонансы Рюэля-Полликотта. Разложение корреляционных функций по псевдомодам. Лиувиллианы с диссипацией. Локализация в пространстве операторов. Разложение по псевдомодам в рамках метода рекурсий.
Вывод интегрального уравнения Накаджимы–Цванцига в пространстве Крылова. Марковское приближение. Универсальное приближение случайными матрицами.
Квантовый квенч в рамках метода рекурсий. Свобода в выборе скалярного произведения в пространстве операторов. Пара биортогональных базисов в пространстве Крылова. Результаты для спиновых моделей.
Сравнение с конкурирующими методами (точная диагонализация, тензорные сети, гейзенберговская троттеризация, квантовый Монте-Карло). Применение для ядерного магнитного резонанса. Применение для бенчмаркинга квантовых компьютеров. Перспективные направления дальнейших исследований. Открытые вопросы.

Операторы Тёплица и Ганкеля и их скейлинговые пределы.
Мультиликативные функционалы детерминантных процессов.
Гауссов мультипликативный хаос для синус-процесса.
Круговой бета-ансамбль, его трёхдиагональная модель.
Скейлинговый предел круговых бета-ансамблей. Конструкция Киллипа-Стоичу синус-бета процесса системой стохастических дифференциальных уравнений.
Эволюция нулей голоморфной функции под действием уравнения теплопроводности. Модель Калоджеро-Сазерлэнда. Её интегрируемость, представление Лакса и связь с многочленами Джека.
Деформация кси-функции Римана уравнением теплопроводности. Константа Неймана-Де Брёйна, её положительность.

Появление римановых поверхностей в периодической теории уравнения Кортевега-де Фриза.
Базовые сведения из теории римановых поверхностей. Преобразование Абеля, якобиан кривой, тета-функции Римана. Задача обращения Римана.
Тета-функциональная формула Итса для волновой функции конечнозонного оператора Шредингера. Тета-функциональная формула Итса-Матвеева для решений уравнения Кортевега-де Фриза.
Конечнозонные решения Нелинейного уравнения Шредингера, уравнения Синус-Гордон.
Обобщение на пространственно-двумерный случай. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили, уравнение Веселова-Новикова, уравнение Дэви-Стюартсона с точки зрения конечномерного подхода.
Конечнозонное интегрирование конечномерных систем. Волчки Манакова.
Задача отбора спектральных данных, отвечающих физически осмысленным решениям. «Лёгкий» и «трудный» случаи. Условия типа Чередника.
Появление примианов кривых в теории интегрируемых уравнений.
Решения Нелинейного уравнения Шредингера, моделирующие аномальные волны и римановы поверхности, близкие к вырожденным.
Многомерные σ-функции; их приложения к интегрируемым системам. Появление римановых поверхностей в периодической теории уравнения Кортевега-де Фриза.
Базовые сведения из теории римановых поверхностей. Преобразование Абеля, якобиан кривой, тета-функции Римана. Задача обращения Римана.
Тета-функциональная формула Итса для волновой функции конечнозонного оператора Шредингера. Тета-функциональная формула Итса-Матвеева для решений уравнения Кортевега-де Фриза.
Конечнозонные решения Нелинейного уравнения Шредингера, уравнения Синус-Гордон.
Обобщение на пространственно-двумерный случай. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили, уравнение Веселова-Новикова, уравнение Дэви-Стюартсона с точки зрения конечномерного подхода.
Конечнозонное интегрирование конечномерных систем. Волчки Манакова.
Задача отбора спектральных данных, отвечающих физически осмысленным решениям. «Лёгкий» и «трудный» случаи.
Условия типа Чередника.
Появление примианов кривых в теории интегрируемых уравнений.
Решения Нелинейного уравнения Шредингера, моделирующие аномальные волны и римановы поверхности, близкие к вырожденным.
Многомерные σ-функции; их приложения к интегрируемым системам.

Формализация понятия (частичной) вычислимой функции: регистровые машины, рекурсивные схемы и т.д. Тезис Чёрча–Тьюринга.
Разрешимые и полуразрешимые (вычислимо перечислимые) множества. Универсальные вычислимые функции. Проблемы самоприменимости и остановки.
Сводимость между алгоритмическими проблемами. Вычислимая неотделимость. Полнота проблемы самоприменимости в классе всех полуразрешимых множеств. О связи с 10-й проблемой Гильберта.
Теорема Клини о неподвижной точке (теорема о рекурсии) и её вариации. Эффективно неотделимые множества. Вычисления с оракулом и релятивизация. Операция скачка (по Тьюрингу).
Арифметическая иерархия. Теорема о её строгости. Классификация алгоритмических проблем по степени неразрешимости.
Бестиповое лямбда-исчисление. Бета-редукции, теорема Чёрча-Россера. Стратегии редукций. Теорема о нормальной стратегии.
Комбинаторы неподвижной точки. Представимость вычислимых функций в бестиповом лямбда-исчислении.
Типы в лямбда-исчислении: простое типизованное лямбда исчисление; лямбда-исчисление второго порядка и система F. Сильная нормализуемость термов, типизуемых в системе F.
Представимость примитивно-рекурсивных функций и функции Аккермана в системе F.
Лямбда-исчисление как основа систем автоматизированного поиска доказательств. Соответствие Карри-Говарда.

Локальная теория вариационного исчисления.
Вариационные принципы классической механики.
Периодические траектории бильярда Биркгофа. Дискретные лагранжевы системы.
Теоремы существования вариационного исчисления.
Минимальные инвариантные меры. Теория Обри-Мезера
Применения к задачам существования периодических, асимптотических, хаотических траекторий в классической механике.

Линейные и векторные расслоения.
Квази-когерентные и когерентные пучки.
Когомологии пучков.
Пучки дифференциалов.
Двойственность Серра.
Теорема о формальных функциях.

Определение относительно гиперболических групп. Условие Фарба. Относительная функция Дэна. Примеры относительно гиперболических групп.
Почти малнормальность параболических подгрупп. Проблема равенства в относительно гиперболических группах. Относительное свойство Дэна.
Эквивалентность относительной гиперболичности линейности относительной функции Дэна.
Квазивыпуклые подгруппы относительно гиперболических групп.
Проблема сопряжённости в относительно гиперболических группах.
Знакомство с дальнейшими обобщениями гиперболических групп: ацилиндричиские группы; группы, действующие на пространствах неотрицательной кривизны; группы, действующие на кубических комплексах.
Граница гиперболической группы. Примеры.

Наклон. Теорема Римана-Роха для расслоений в терминах наклонов. Определение стабильности. Морфизмы между стабильными расслоениями.
Фильтрация Хардера-Нарасимхана. Её существование и свойства. Эффективные критерии глобальной порождённости.
Примеры стабильных расслоений. Классификация векторных расслоений на P1 и на эллиптической кривой.
Стабильность как открытое свойство в семействах. Ограниченность семейства полустабильных расслоений. Немного о пространствах модулей расслоений.
Лемма Фалтингса о существовании когомологически ортогонального расслоения, интерпретация с точки зрения пространств модулей.
Локальные системы, связности с регулярными особенностями, продолжение по Делиню. Индуцированные расслоения, их (полу)стабильность.
Формулировка теорема Нарасимхана-Сешадри. Доказательство (локальной) инъективности через теорию деформаций.
Собственность пространств модулей полустабильных расслоений. Доказательство сюръективности в теореме Нарасимхана-Сешадри.
Обзор обобщений и вариантов: понятия (мн.ч.) стабильности расслоений на многомерных многообразиях, соответствие Кобаяши-Хитчина, аналитический подход Дональдсона-Уленбек-Яу, неабелева теория Ходжа и т.п.

Лагранжева формулировка общей теории относительности (ОТО). Уравнения движения и граничные условия. Максимально симметричные решения: пространства Минковского, де Ситтера (dS) и анти-де Ситтера (AdS). Источники: частицы и оболочки. Теория Джакива-Тейтелбойма как маломерный аналог ОТО.
Чёрные дыры в ОТО. Температура и энтропия чёрных дыр как геометрические величины. Диаграммы Пенроуза. Излучение Хокинга. Эволюция чёрных дыр и унитарность.
Функциональный интеграл в квантовой теории поля. Статсумма и волновая функция как функциональные интегралы. Состояние thermofield double (TFD) как пример применения функционального интеграла в КТП при конечной температуре. Частично зацепленные температурные состояния (PETS) в КТП. Состояние Хартла-Хокинга в гравитации.
AdS/CFT-соответствие как проводник для систематического подхода к квантовой гравитации в пространстве AdS. Голографический словарь: квазиклассические состояния в КТП как геометрии в асимптотически AdS пространстве. Парадигма ER = EPR и примеры дуального описания зацепленных состояний.
Формулировки информационной проблемы чёрных дыр. Краткий обзор результатов из теории суперструн.
Энтропия зацепленности излучения Хокинга. Кривая Пейлжа в случае испаряющейся и вечной чёрных дыр. Испарение чёрных дыр в контексте AdS/CFT-соответствия. Формула Рю-Такаянаги и её обобщение с учётом квантовых поправок.
Островная формула вычисления энтропии зацепленности чёрных дыр и их излучения.
Режим низких энергий в функциональном интеграле квантовой гравитации как сумма по геометриям. Репличные кротовые норы как доказательство островной формулы.
Гравитация как ансамбль квантовых систем. Эквивалентность теории гравитации матричным интегралам на примере теории Джакива-Тейтелбойма. Проблема факторизации евклидовой статсуммы с граничными условиями на несвязных многообразиях.
Квазиклассические микросостояния чёрных дыр как голографические двойники PETS. Интерпретация энтропии Бекенштейна-Хокинга на языке микросотояний. Проблема факторизации пространства состояний в AdS/CFT-соответствии и её решение.