[Математический институт имени В. А. Стеклова РАН]

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2807

Изучение слов — последовательностей символов в конечном алфавите — может быть связано как с анализом их структуры и поиском закономерностей в них, так и с исследованием преобразований над ними. Курс посвящен обоим подходам и представляет собой обзор классических понятий и результатов из комбинаторики слов и теории систем переписывания строк.

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2803

Квантовые вычисления представляют собой обобщённую модель обработки информации, обладающую фундаментальными преимуществами по сравнению с классическими вычислениями. Область квантовых алгоритмов занимается математическим исследованием этих преимуществ и возможностей их применения при решении конкретных вычислительных задач.

В 1994 году Питер Шор разработал эффективный алгоритм для решения задачи разложения больших чисел на множители, таким образом показав, что построение полноценных квантовых вычислитетей поставит под угрозу стойкость современных криптографических систем. С тех пор были разработаны методы решения многих важных задач из различных областей: вычислительной теории чисел, криптологии, квантовой химии, квантовой многочастичной физики и физики высоких энергий, логистики — в этих исследованиях использовались продвинутые результаты линейной алгебры, теории операторов, теории аппроксимаций, теории представлений, теории вычислительной сложности. В целом, была проведена огромная работа по разработке, доказательству корректности, систематике и унификации квантовых алгоритмов.

Цель нашего курса — взглянуть на главные квантовые алгоритмы, сформировать общее понимание принципов их построения, познакомиться с используемыми ими математическими теориями и научиться оценивать их потенциал в приложениях. Курс начнётся с обсуждения ранних результатов в области квантовых алгоритмов — включая алгоритмы Гровера и Шора, — после чего мы последовательно проследим за развитием этих идей и взглянем на современные достижения, такие как методы квантового преобразования сингулярных значений и вариационные алгоритмы.

Страница спецкурса:https://www.mathnet.ru/conf2802

Если взять большую случайную матрицу, то её спектр — некоторое случайное подмножество прямой — оказывается источником множества интересных конструкций. Например, на такое множество можно смотреть как на двухмерный кулоновский газ. Более интересно, что вероятность не обнаружить частицу в отрезке длины подчиняется, как функция длины, уравнению Пенлеве — важному уравнению из математической физики, а изучение средних значений мультипликативных функционалов этого случайного подмножества приводит нас к другой элементарной задаче — поиску определителей тёплицевых матриц. Наконец, характеристический многочлен подобной матрицы на бесконечности приводит нас к конструкции гауссового мультипликативного хаоса, предложенной Мандельбротом, Перьером и Каханом и выросшей из теории однородной изотропной теории турбулентности Андрея Николаевича Колмогорова.

Оказывается, что многие из указанных выше свойств являются до некоторой степени общими. Например, они не зависят от выбора распределения на матрицах: это распределение лишь должно быть инвариантным относительно сопряжений унитарными матрицами. В курсе мы ответим на вопрос о том, что общее возникает у различных подобных распределений, познакомим слушателя с возникновением конструкции Кахана в теории случайных матриц и расскажем, каким образом и зачем смотреть на спектр матрицы как на кулоновский газ.

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2809

Теория топосов находится на стыке нескольких математических дисциплин: теории категорий, алгебраической геометрии, математической логики и теории множеств. Курс представляет собой введение в теорию топосов с логической точки зрения.

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2804

Цель курса — ознакомление с классическими разрешимыми и неразрешимыми алгоритмическими проблемами алгебры. Предполагается вводная часть, в которой будут рассмотрены различные вычислительные модели, приводящие к формализации понятий алгоритма и вычислимой функции. Будет доказана неразрешимость ряда алгоритмических проблем, в частности, неразрешимость проблемы равенства в конечно определенных полугруппах. С другой стороны, будут приведены примеры разрешимых проблем с описанием соответствующих алгоритмов, например, проблемы равенства и изоморфизма для конечно порожденных абелевых групп.

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2801

Аксиоматика Колмогорова теории вероятностей опирается лишь на базовые понятия сигма-алгебры и счетно-аддитивной функции множеств. В то же время, теория вероятностей имеет множество приложений к самым разным областям математики.

Цель данного курса — познакомить слушателя с применениями фундаментальных результатов теории вероятностей в задачах, возникших, среди прочего, в анализе временных рядов, математической физике и теории представлений.

Так, за многими интересными случайными процессами стоят физические явления, описываемые уравнениями в частных производных. Оказывается, что интерпретировать такие задачи можно при помощи случайных процессов, а примеры такой интерпретации, как мы увидим, возникают в теории случайных матриц. Мы также поговорим о том, как понятие слабой сходимости вероятностных мер приводит к появлению интересных метрических пространств. Свойства данных пространств находят отражение в рассматриваемых задачах: например, теорема Прохорова связывает топологическое понятие компактности с очень интуитивным понятием “равномерной плотности” мер. Наконец, изученные методы мы применим и к классическим задачам теории вероятности: мы рассмотрим задачу о скорости сходимости в Центральной Предельной Теореме.

Страница спецкурса: https://www.mathnet.ru/conf2808

Данный курс посвящен математическим структурам, которые были открыты в недавнее время при изучении связей общих вопросов хаотического поведения в сильновзаимодействующих квантовых системах и теории гравитации. Для того, чтобы обеспечить лучшее понимание этой динамично развивающейся области, будет дано введение в теорию случайных матриц. Далее будет обсуждаться модель Сачдева-Йе-Китаева (SYK) как пример точно решаемой хаотической квантовой системой с гравитационным голографическим описанием. В связи с этим будет обсуждаться двухмерная точно решаемая теория гравитации Джакива-Тейтелбойма. В этих обсуждения будет сделан существенный акцент на то, как математические структуры из теории случайных матриц появляются в теории гравитации и голографических системах на примере этих точно решаемых моделей.

Страница курса: https://www.mathnet.ru/conf2702

Страница курса: https://www.mathnet.ru/conf2701

Страница курса: https://www.mathnet.ru/conf2698