[Кафедра теоретической механики и мехатроники]

В спецкурсе излагаются основные принципы (принцип Даламбера-Лагранжа, принцип Гамильтона, принцип Гаусса, принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби и принцип Гамильтона в форме Пуанкаре) и уравнения аналитической механики (уравнения Лагранжа, Рауса, Гамильтона, Аппеля, Якоби, Уиттекера). Излагаются фундаментальные проблемы гамильтоновой механики (канонические преобразования, теория Гамильтона-Якоби, переменные действие-угол, теория возмущений). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем, в частности вопросы понижения порядка, построения эффективного потенциала, определения стационарных движений и инвариантных множеств и условий их устойчивости. Общие положения иллюстрируются примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях. Также обсуждаются основные методы и теоремы КАМ теории.

Специальный курс для аспирантов 2-го года обучения посвящен вопросам аналитической механики классических и управляемых механических систем, выходящим за рамки стандартных курсов. В спецкурсе рассматриваются специальные задачи небесной механики, в частности движение твердого тела в центральном гравитационном поле с учетом спутникового приближения гравитационного потенциала. Излагаются основы геометрических аспектов механики, основанные на групповых методах (группы и алгебры Ли, группы симметрий, группы вращений). Рассматриваются основные принципы и методы динамики управляемых систем, основанные на принципе максимума Понтрягина и теории регулярного синтеза. Эти методы сопоставляются с методом динамического программирования, уравнением Беллмана. Даются элементы теории дискретных и дифференциальных игр. Также рассматривается динамика систем с односторонними связями и ударами. Формулируется принцип Даламбера-Лагранжа для таких систем, из которого выводится лагранжева теория удара.

Цель курса – дать слушателям представление о том, как аналитическая и вычислительная механика и математика применяются для изучения объектов молекулярной биологии: макромолекул нуклеиновых кислот. В ходе спецкурса описывается функционирование клетки, процессы репликации, транскрипции и трансляции, устройство молекул нуклеиновых кислот, нуклеотиды. Рассматриваются типы и формы молекул ДНК, Генетический код. Рассказывается о фундаментальной проблеме молекулярной биологии – исследовании структурной организации молекул. Описывается иерархия структур молекул РНК и ДНК, первичная, вторичная и третичная структуры. Классифицируются элементы вторичной структуры: стебли и петли. Обсуждается проблема вычисления вторичной структуры РНК по известной первичной структуре и методы ее решения. Дается представление о ферментативной активности РНК и важности моделирования пространственной (третичной) структуры молекул РНК. Описываются различные механические модели макромолекул. Рассматривается модель тонкого упругого стержня, уравнения, описывающие равновесные конфигурации упругого стержня. Доказывается аналогия Кирхгофа с динамическими уравнениями, описывающими вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Дается математическое описание структуры двойной спирали ДНК, гомотопические инварианты и степень отображения. Формулируются основные положения теории полос, числа зацепления и вращения, райзинг, формулы Гаусса и Уайта. Описывается построение третичной структуры РНК на примере дрожжевой фенилаланиновой транспортной РНК.

К негладкой механике относят механику систем с ударами и импульсными воздействиями, механику односторонних связей, системы с трением, математические и динамические биллиарды, механику систем с негладкими связями. Задачи, которые здесь ставятся, аналогичны задачам классической (гладкой) механики - это определение движения и его устойчивость, поиск периодических и решений, интегрируемость и т.п. Построение законов движения в таких системах, так же как и в гладкой механике, основано на специально сформулированном принципе Даламбера-Лагранжа. Это позволяет получать аналог уравнений Лагранжа второго рода для таких систем, и использовать метод Рауса при наличии циклических координат. Помимо классических односторонних связей, в курсе рассматриваются системы с так называемыми неголономными односторонними связями. Специальный интерес имеют натуральные механические системы с односторонними связями и абсолютно упругими соударениями. В таких системах выполняется закон сохранения энергии. При заданном значении уровня энергии движение такой системы можно рассматривать как движение материальной точки в римановом пространстве по геодезическим кинетической метрики Якоби.

В рамках спецкурса рассматривается динамика твердых тел, движущихся в потоке сопротивляющейся среды. Обсуждаются вопросы моделирования аэродинамических сил, действующих на такие тела. Описываются различные механизмы, приводящие к возникновению автоколебаний тел в потоке. Обсуждаются различные типы ветроэнергетических установок, в которых энергия таких колебаний преобразуется в электричество.

Рассматриваются подходы Больцмана и Гиббса к основаниям статистической механики. Обсуждается связь между гамильтоновыми системами, статистической механикой и равновесной термодинамикой. Эвристический подход Больцмана использует приближенный анализ механизма столкновения молекул. Кинетическое уравнение Больцмана служит основой прикладных расчетов в динамике разреженных газов. В рассмотрении Гиббса на гладком многообразии вводятся две согласованные структуры - фазового пространства динамической системы и вероятностного пространства. Этот общий подход полезен, в частности, для обоснования термодинамики. При переходе от микроуровня к макроуровню описания достаточно существования слабого предела вероятностной меры. Для многих важных классов нелинейных гамильтоновых систем слабая сходимость имеет место. Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу.

В спецкурсе обсуждаются некоторые динамические и геометрические аспекты гамильтоновой механики, которые обычно остаются за пределами стандартных университетских курсов.

Рассматриваются механические системы, движение которых описывается динамическими системами переменной структуры. Это системы обыкновенных дифференциальных уравнений, количество и вид которых зависят от поведения некоторых специальных переменных. Примерами таких систем являются модели, описывающие взаимодействие силы упругости с силой трения. Изменчивость структуры даже после линеаризации уравнений придает системе свойства, характерные для нелинейных систем. Как правило, в таких системах в зависимости от режима движения есть несколько особых точек. В частности, возможно возникновение колебаний с неограниченным ростом амплитуды.

В курсе обсуждаются системы, у которых есть обобщённые силы по циклическим координатам, но эти силы зависят только от скоростей циклических координат. Строится геометрический образ в «усечённом» фазовом пространстве и множество стационарных движений. Обсуждается вопрос о существовании интегрального многообразия квазистационарных движений в окрестности этого множества. Проводится качественный анализ квазистационарных движений некоторых объектов указанного класса, которые служат дополнением к традиционным объектам теоретической механики.

Спецкурс содержит изложение некоторых задач и методов прикладной небесной механики, изучающих вопросы анализа и прогнозирования траекторного возмущённого движения космических аппаратов. Также рассматриваются вопросы исследования возмущенных вращательных движений КА, которые тесно связаны с задачами и методами классической небесной механики и механики твердого тела. Темы спецкурса включают детальное исследование задач, являющихся содержательными примерами использования общих методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.