[Кафедра теоретической механики и мехатроники]

В спецкурсе излагаются основные принципы (принцип Даламбера-Лагранжа, принцип Гамильтона, принцип Гаусса, принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби и принцип Гамильтона в форме Пуанкаре) и уравнения аналитической механики (уравнения Лагранжа, Рауса, Гамильтона, Аппеля, Якоби, Уиттекера). Излагаются фундаментальные проблемы гамильтоновой механики (канонические преобразования, теория Гамильтона-Якоби, переменные действие-угол, теория возмущений). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем, в частности вопросы понижения порядка, построения эффективного потенциала, определения стационарных движений и инвариантных множеств и условий их устойчивости. Общие положения иллюстрируются примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях. Также обсуждаются основные методы и теоремы КАМ теории.

Специальный курс для аспирантов 2-го года обучения посвящен вопросам аналитической механики классических и управляемых механических систем, выходящим за рамки стандартных курсов. В спецкурсе рассматриваются специальные задачи небесной механики, в частности движение твердого тела в центральном гравитационном поле с учетом спутникового приближения гравитационного потенциала. Излагаются основы геометрических аспектов механики, основанные на групповых методах (группы и алгебры Ли, группы симметрий, группы вращений). Рассматриваются основные принципы и методы динамики управляемых систем, основанные на принципе максимума Понтрягина и теории регулярного синтеза. Эти методы сопоставляются с методом динамического программирования, уравнением Беллмана. Даются элементы теории дискретных и дифференциальных игр. Также рассматривается динамика систем с односторонними связями и ударами. Формулируется принцип Даламбера-Лагранжа для таких систем, из которого выводится лагранжева теория удара.

Классическая динамика неголономных систем, с одной стороны, имеет примерно полуторавековую историю, а с другой – всё ещё, так или иначе, сохраняет облик дисциплины изолированной и отчасти противопоставленной динамике систем голономных. Дело здесь не столько в названии, сколько – во первых – в том, что объекты этой дисциплины исследуются скорее индивидуально, нежели на основании общих подходов, которые расширяли бы методы динамики голономных систем и – во вторых – в том, что ведут себя эти объекты, согласно широко распространённому мнению, часто неожиданно. В динамике неголономных систем известно сравнительно немного точно решённых задач, поэтому исследования, относящиеся к этой науке, вызывают известный интерес как у нас в стране, так и за рубежом.
Неголономные модели различных механических систем находят применение при решении многих технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла, в теории движения автомобиля, в теории взаимодействия колеса и дороги, в теории движения электрических машин и, с недавнего времени, при изучении движения мобильных роботов.
Цель курса состоит в том, чтобы познакомить слушателей с общими принципами и методами неголономной механики и дать им представление об основных новых методах неголономной механики, научить их решать широкий класс задач, а также сформировать их культурные и профессиональные навыки. В результате работы над данным курсом слушатели должны овладеть основными новыми методами неголономной механики, позволяющими, в частности, быстро и эффективно, получать уравнения движения систем с дифференциальными связями и проводить анализ этих уравнений. Слушатели должны научиться теоретическому мышлению на новом уровне, включающем в себя применение полученных теоретических знаний к решению актуальных задач механики.

Рассматриваются подходы Больцмана и Гиббса к основаниям статистической механики. Обсуждается связь между гамильтоновыми системами, статистической механикой и равновесной термодинамикой. Эвристический подход Больцмана использует приближенный анализ механизма столкновения молекул. Кинетическое уравнение Больцмана служит основой прикладных расчетов в динамике разреженных газов. В рассмотрении Гиббса на гладком многообразии вводятся две согласованные структуры - фазового пространства динамической системы и вероятностного пространства. Этот общий подход полезен, в частности, для обоснования термодинамики. При переходе от микроуровня к макроуровню описания достаточно существования слабого предела вероятностной меры. Для многих важных классов нелинейных гамильтоновых систем слабая сходимость имеет место. Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу.

Спецкурс является естественным продолжением стандартного курса теоретической механики, читаемом на отделении механики механико-математического факультета МГУ. В курсе развивается ряд классических тем (неголономная механика, теория возмущений, эргодическая теория), но на более подробном уровне, иногда вплоть до результатов, полученных в последние годы. В частности, доказывается теорема Фробениуса и обсуждаются ее приложения к механике неголономных систем и геометрии римановых многообразий. Теория удара излагается на основе результатов, полученных в последние годы на основе лагранжева формализма. Теория интеграла Пуанкаре излагается с общих позиций теории возмущений для систем общего вида, не только гамильтоновых.

В спецкурсе обсуждаются некоторые динамические и геометрические аспекты гамильтоновой механики, которые обычно остаются за пределами стандартных университетских курсов.

В курсе обсуждаются системы, у которых есть обобщённые силы по циклическим координатам, но эти силы зависят только от скоростей циклических координат. Строится геометрический образ в «усечённом» фазовом пространстве и множество стационарных движений. Обсуждается вопрос о существовании интегрального многообразия квазистационарных движений в окрестности этого множества. Проводится качественный анализ квазистационарных движений некоторых объектов указанного класса, которые служат дополнением к традиционным объектам теоретической механики.

К негладкой механике относят механику систем с ударами и импульсными воздействиями, механику односторонних связей, системы с трением, математические и динамические биллиарды, механику систем с негладкими связями. Задачи, которые здесь ставятся, аналогичны задачам классической (гладкой) механики - это определение движения и его устойчивость, поиск периодических и решений, интегрируемость и т.п. Построение законов движения в таких системах, так же как и в гладкой механике, основано на специально сформулированном принципе Даламбера-Лагранжа. Это позволяет получать аналог уравнений Лагранжа второго рода для таких систем, и использовать метод Рауса при наличии циклических координат. Помимо классических односторонних связей, в курсе рассматриваются системы с так называемыми неголономными односторонними связями. Специальный интерес имеют натуральные механические системы с односторонними связями и абсолютно упругими соударениями. В таких системах выполняется закон сохранения энергии. При заданном значении уровня энергии движение такой системы можно рассматривать как движение материальной точки в римановом пространстве по геодезическим кинетической метрики Якоби.