[Кафедра теоретической механики и мехатроники]

Специальный курс для аспирантов 2-го года обучения посвящен вопросам аналитической механики классических и управляемых механических систем, выходящим за рамки стандартных курсов. В спецкурсе рассматриваются специальные задачи небесной механики, в частности движение твердого тела в центральном гравитационном поле с учетом спутникового приближения гравитационного потенциала. Излагаются основы геометрических аспектов механики, основанные на групповых методах (группы и алгебры Ли, группы симметрий, группы вращений). Рассматриваются основные принципы и методы динамики управляемых систем, основанные на принципе максимума Понтрягина и теории регулярного синтеза. Эти методы сопоставляются с методом динамического программирования, уравнением Беллмана. Даются элементы теории дискретных и дифференциальных игр. Также рассматривается динамика систем с односторонними связями и ударами. Формулируется принцип Даламбера-Лагранжа для таких систем, из которого выводится лагранжева теория удара.

Обсуждается задача о движении тела в среде с позиции теоретической механики, отталкиваясь от классических работ Н.Е. Жуковского. Создаётся механико-математическая модель движения тела в среде в виде динамической системы, содержащей некоторое количество параметров. Построение фазового портрета модельной динамической системы – эффективный способ качественного анализа. Параметрический анализ системы проводится параллельно с описанием эволюции фазового портрета. В спецкурсе рассматриваются следующие задачи: летательный аппарат, парусный буер, поведение тел на ветру, вертушки как ветроприёмные элементы энергетических устройств.

Рассматриваются механические системы, движение которых описывается динамическими системами переменной структуры. Это системы обыкновенных дифференциальных уравнений, количество и вид которых зависят от поведения некоторых специальных переменных. Примерами таких систем являются модели, описывающие взаимодействие силы упругости с силой трения. Изменчивость структуры даже после линеаризации уравнений придает системе свойства, характерные для нелинейных систем. Как правило, в таких системах в зависимости от режима движения есть несколько особых точек. В частности, возможно возникновение колебаний с неограниченным ростом амплитуды.

В рамках спецкурса рассматривается динамика твердых тел, движущихся в потоке сопротивляющейся среды. Обсуждаются вопросы моделирования аэродинамических сил, действующих на такие тела. Описываются различные механизмы, приводящие к возникновению автоколебаний тел в потоке. Обсуждаются различные типы ветроэнергетических установок, в которых энергия таких колебаний преобразуется в электричество.

Специальный курс для аспирантов 2-го года обучения посвящен вопросам аналитической механики классических и управляемых механических систем, выходящим за рамки стандартных курсов. В спецкурсе рассматриваются специальные задачи небесной механики, в частности движение твердого тела в центральном гравитационном поле с учетом спутникового приближения гравитационного потенциала. Излагаются основы геометрических аспектов механики, основанные на групповых методах (группы и алгебры Ли, группы симметрий, группы вращений). Рассматриваются основные принципы и методы динамики управляемых систем, основанные на принципе максимума Понтрягина и теории регулярного синтеза. Эти методы сопоставляются с методом динамического программирования, уравнением Беллмана. Даются элементы теории дискретных и дифференциальных игр. Также рассматривается динамика систем с односторонними связями и ударами. Формулируется принцип Даламбера-Лагранжа для таких систем, из которого выводится лагранжева теория удара.

Для согласования времени курса обращайтесь к лектору tatiana.salnikova@math.msu.ru.

В курсе рассматриваются подходы Больцмана и Гиббса к основаниям статистической механики. Обсуждается связь между гамильтоновыми системами, статистической механикой и равновесной термодинамикой. Эвристический подход Больцмана использует приближенный анализ механизма столкновения молекул. Кинетическое уравнение Больцмана служит основой прикладных расчетов в динамике разреженных газов. В рассмотрении Гиббса на гладком многообразии вводятся две согласованные структуры - фазового пространства динамической системы и вероятностного пространства. Этот общий подход полезен, в частности, для обоснования термодинамики. При переходе от микроуровня к макроуровню описания достаточно существования слабого предела вероятностной меры. Для многих важных классов нелинейных гамильтоновых систем слабая сходимость имеет место. Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу.

Рассматриваются подходы Больцмана и Гиббса к основаниям статистической механики. Обсуждается связь между гамильтоновыми системами, статистической механикой и равновесной термодинамикой. Эвристический подход Больцмана использует приближенный анализ механизма столкновения молекул. Кинетическое уравнение Больцмана служит основой прикладных расчетов в динамике разреженных газов. В рассмотрении Гиббса на гладком многообразии вводятся две согласованные структуры - фазового пространства динамической системы и вероятностного пространства. Этот общий подход полезен, в частности, для обоснования термодинамики. При переходе от микроуровня к макроуровню описания достаточно существования слабого предела вероятностной меры. Для многих важных классов нелинейных гамильтоновых систем слабая сходимость имеет место. Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу.

В спецкурсе излагаются основные принципы (принцип Даламбера-Лагранжа, принцип Гамильтона, принцип Гаусса, принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби и принцип Гамильтона в форме Пуанкаре) и уравнения аналитической механики (уравнения Лагранжа, Рауса, Гамильтона, Аппеля, Якоби, Уиттекера). Излагаются фундаментальные проблемы гамильтоновой механики (канонические преобразования, теория Гамильтона-Якоби, переменные действие-угол, теория возмущений). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем, в частности вопросы понижения порядка, построения эффективного потенциала, определения стационарных движений и инвариантных множеств и условий их устойчивости. Общие положения иллюстрируются примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях. Также обсуждаются основные методы и теоремы КАМ теории.