[Кафедра теоретической механики и мехатроники]

Обсуждается задача о движении тела в среде с позиции теоретической механики, отталкиваясь от классических работ Н.Е. Жуковского. Создаётся механико-математическая модель движения тела в среде в виде динамической системы, содержащей некоторое количество параметров. Построение фазового портрета модельной динамической системы – эффективный способ качественного анализа. Параметрический анализ системы проводится параллельно с описанием эволюции фазового портрета. В спецкурсе рассматриваются следующие задачи: летательный аппарат, парусный буер, поведение тел на ветру, вертушки как ветроприёмные элементы энергетических устройств.

Спецкурс содержит изложение некоторых задач и методов прикладной небесной механики, которые, с одной стороны, находят широкое применение в космической баллистике, а с другой стороны, тесно связаны с задачами и методами классической небесной механики и механики твердого тела. Спецкурс рассчитан на два семестра и предназначен для студентов 3-го курса. Цель спецкурса – первое ознакомление студентов с предметом, поэтому все математические выкладки, которыми насыщена небесная механика, проведены с большой подробностью. Темы спецкурса включают детально исследование задач, являющихся содержательными примерами использования общих методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения, с которыми студенты познакомились в базовых курсах математики и механики.

В спецкурсе излагаются основы математической теории устойчивости (теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости, теорема Четаева о неустойчивости, теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости, теорема Красовского о неустойчивости, теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению, критические случаи одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней, особенного случая нескольких нулевых корней, теория Флоке-Ляпунова и т.п.). Обсуждаются проблемы теории устойчивости движения механических систем (теоремы Лагранжа, Рауса, Кельвина-Четаева и их модификации) и основы теории бифуркации (ветвление решений, рождение предельных циклов, бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева и Смейла и т.п.). Общие положения иллюстрируются многочисленными примерами из динамики точки и твердого тела в различных силовых полях. Спецкурс предназначен для студентов 4-го курса.

Рассматриваются механические системы, движение которых описывается динамическими системами переменной структуры. Это системы обыкновенных дифференциальных уравнений, количество и вид которых зависят от поведения некоторых специальных переменных. Примерами таких систем являются модели, описывающие взаимодействие силы упругости с силой трения. Изменчивость структуры даже после линеаризации уравнений придает системе свойства, характерные для нелинейных систем. Как правило, в таких системах в зависимости от режима движения есть несколько особых точек. В частности, возможно возникновение колебаний с неограниченным ростом амплитуды.

В рамках спецкурса рассматривается динамика твердых тел, движущихся в потоке сопротивляющейся среды. Обсуждаются вопросы моделирования аэродинамических сил, действующих на такие тела. Описываются различные механизмы, приводящие к возникновению автоколебаний тел в потоке. Обсуждаются различные типы ветроэнергетических установок, в которых энергия таких колебаний преобразуется в электричество.

Рассматриваются подходы Больцмана и Гиббса к основаниям статистической механики. Обсуждается связь между гамильтоновыми системами, статистической механикой и равновесной термодинамикой. Эвристический подход Больцмана использует приближенный анализ механизма столкновения молекул. Кинетическое уравнение Больцмана служит основой прикладных расчетов в динамике разреженных газов. В рассмотрении Гиббса на гладком многообразии вводятся две согласованные структуры - фазового пространства динамической системы и вероятностного пространства. Этот общий подход полезен, в частности, для обоснования термодинамики. При переходе от микроуровня к макроуровню описания достаточно существования слабого предела вероятностной меры. Для многих важных классов нелинейных гамильтоновых систем слабая сходимость имеет место. Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу.

Программа курса доступна на странице http://www.theormech.math.msu.su/old_courses/old_courses_nsc.htm

В спецкурсе реализован подход от проблемы к методам. Основой послужила проблема управления беспилотным мобильным наземным роботом в заранее неопределённой среде и охватывает широкий объём методов, необходимых для управления автономными мехатронными устройствами. Приводятся основные сведения о мобильных роботах, мехатронных системах управления, рассматривается кинематика и динамика мобильных роботов, изучаются математические модели и свойства двигателей роботов, изучается неголономная динамика робота с дифференциальным приводом на плоскости. Обсуждаются способы очувствления роботов и методы, позволяющие роботу ориентироваться в незнакомой среде. Рассматриваются модели рефлекторного, роевого и интеллектуального поведения роботов. Слушатели курса получат необходимые знания для создания базовых программных систем управления роботами.

Цель спецкурса - краткий обзор классических и современных результатов о том, какие инвариантные многообразия могут быть у реальных механических систем. Изучение инвариантных многообразий важно, по крайней мере, по двум причинам. Во-первых, размерность инвариантного многообразия меньше, чем размерность фазового пространства. Поэтому иногда свойства движения системы на инвариантных многообразиях описать проще, чем в общем виде. Пример – лиувиллевы торы с условно-периодическим движением на них. Во-вторых, геометрия многообразий накладывает ограничения на свойства траекторий движения и позволяет описывать эти свойства. Пример – векторное поле на сфере всегда имеет особую точку (положение равновесия).
Задача рассматривается в двух постановках. В прямой постановке: дана механическая система, нужно исследовать какие у нее есть инвариантные многообразия. В обратной постановке: дано инвариантное многообразие, требуется найти реальную механическую систему с таким конфигурационным многообразием или систему, имеющую такое инвариантное многообразие.
В спецкурсе также будут рассмотрены и другие вопросы, связанные с наличием гладких многообразий, выявляемых при изучении механических систем.

Спецкурс посвящен приближенным методам анализа механических систем. Для регулярно возмущенных систем излагаются метод малого параметра и теорема Пуанкаре, метод усреднения и теоремы Боголюбова-Митропольского для систем с одной быстрой переменной, а также для систем с несколькими быстрыми переменными как в нерезонансном, так и в резонансном случаях. В качестве примеров рассматриваются уравнение Ван-дер-Поля, бифуркация Андронова-Хопфа, маятник с вибрирующей точкой подвеса, адиабатические инварианты и т.п. Для сингулярно возмущенных систем излагаются теоремы Тихонова и Феничеля. Дается обоснование предельного перехода от систем с трением к неголономным системам. В качестве примеров рассматривается задача о движении саней Чаплыгина-Каратеодори.