[Кафедра теории чисел]

Цепные дроби
Мера иррациональности и диофантовы экспоненты
Лемма Бореля-Кантелли
Теорема Хинчина-Грошева
Теорема Ярника-Безиковича
Диофантовы экспоненты решёток

Представление натуральных чисел в виде суммы двух квадратов.
Уравнение Пелля.
Классы эквивалентности бинарных квадратичных форм.
Группа целочисленных автоморфизмов бинарной формы с целыми коэффициентами.
Теория приведения бинарных квадратичных форм.
Представление натуральных чисел бинарными квадратными формами.

Идеалы и дробные идеалы. Группа дробных идеалов.
Норма идеала.
Группа классов идеалов.
Разложение целых рациональных чисел в произведение простых идеалов.
Круговые поля.

Аналитические в шаре функции
Логарифмическая и экспоненциальная функции
Многоугольники Ньютона для многочленов; связь с корнями
Многоугольники Ньютона для степенных рядов и нули аналитических функций
Интеграл Шнирельмана

Определение дзета-функции Римана и ее простейшие свойства. Обобщения функции . Аналитическое продолжение в область .
Ряды Дирихле, связанные с дзета-функцией.
Целые функции конечного порядка. Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса.
Гамма-функция Эйлера: функциональное уравнение, формула Стирлинга.
Тета-ряд и его свойства. Выражение дзета-функции через тета-ряд. Функциональное уравнение дзета-функции. Аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
Нетривиальные нули дзета-функции. Следствия из функционального уравнения для дзета-функции. Разложение логарифмической производной в ряд по нулям.
Теорема Ш. Валле-Пуссена о границе нулей дзета-функции.
Асимптотические законы распределения простых чисел.

Введение. Квадратичные расширения поля рациональных чисел.
Кольцо Z[ω] чисел Эйзенштейна: основные понятия; теория делимости.
Простые числа в Z[ω]. Основная теорема арифметики.
Сравнения в кольце Z[ω]. Класс вычетов по заданному модулю γ ∈ Z[ω]. Решётка на плоскости, образованная числами Эйзенштейна.
Характеры по модулю γ ∈ Z[ω]. Характер кубического вычета.
Суммы Гаусса и Якоби.
Алгебраические числа: основные определения и простейшие свойства. Целые алгебраические числа.
Кубический закон взаимности.

Конечные и алгебраические расширения полей.
Нормальные расширения полей. Теория Галуа.
Модули и порядки в полях алгебраических чисел.
Целые алгебраические числа.
Теорема Дирихле о единицах.

Нормированные поля
Пополнение нормированного поля
Поле p-адических чисел
Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях
Лемма Гензеля
Компактность кольца целых чисел
Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций
Продолжение нормы на алгебраическое замыкание
Построение полного алгебраически замкнутого расширения

Два доказательства иррациональности √2 (диофантовы уравнения и геометрическая конструкция приближений q_n√2 − p_n.)
Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными. Теорема Лиувилля и примеры трансцендентных чисел. Существование трансцендентных чисел по Кантору.
Иррациональность e. Приближения Паде для функции e^x. Иррациональность чисел e^r при рациональном r ≠ 0 и π. Трансцендентность чисел e и π.
Теорема Линдемана - Вейерштрасса о линейной независимости значений экспоненциальной функции в алгебраических точках. Следствия о трансцендентности π и квадратура круга. Трансцендентность чисел вида e^α при алгебраических α ≠ 0, натуральных логарифмов алгебраических чисел.
Алгебраические числа (продолжение).
Теорема Гельфонда о трансцендентности чисел вида α^β при алгебраических α ≠ 0, 1 и β ̸∈ Q (седьмая проблема Гильберта) и трансцендентность логарифмов алгебраических чисел при алгебраическом основании.
Теорема Шнейдера - Ленга и ее следствия. Доказательство теоремы.
Эллиптические функции и следствия теоремы Шнейдера-Ленга для них.

Введение: краткая биография Христиана Гольдбаха; его переписка с Эйлером; постановка бинарной и тернарной проблем.
Запись числа решений уравнения Гольдбаха в виде тригонометрического интеграла. Разбиение отрезка интегрирования на т.н. «большие» и «малые» дуги.
Исследование поведения тригонометрической суммы по простым числам вблизи рациональных точек с «малыми» знаменателями. Теоремы о простых числах в арифметической прогрессии с растущей разностью (без доказательства).
Выделение главного члена (асимптотика интеграла по «большим» дугам).
Оценка линейной тригонометрической суммы с простыми числами.
Метод И.М. Виноградова. Тождество Р. Вона.
Проблема «эффективизации»: получение оценки остаточного члена с эффективно вычисляемой постоянной (если позволит время).