[Кафедра теории чисел]

Конечные и алгебраические расширения полей.
Нормальные расширения полей. Теория Галуа.
Модули и порядки в полях алгебраических чисел.
Целые алгебраические числа.
Теорема Дирихле о единицах.

Нормированные поля
Пополнение нормированного поля
Поле p-адических чисел
Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях
Лемма Гензеля
Компактность кольца целых чисел
Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций
Продолжение нормы на алгебраическое замыкание
Построение полного алгебраически замкнутого расширения

Два доказательства иррациональности √2 (диофантовы уравнения и геометрическая конструкция приближений q_n√2 − p_n.)
Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными. Теорема Лиувилля и примеры трансцендентных чисел. Существование трансцендентных чисел по Кантору.
Иррациональность e. Приближения Паде для функции e^x. Иррациональность чисел e^r при рациональном r ≠ 0 и π. Трансцендентность чисел e и π.
Теорема Линдемана - Вейерштрасса о линейной независимости значений экспоненциальной функции в алгебраических точках. Следствия о трансцендентности π и квадратура круга. Трансцендентность чисел вида e^α при алгебраических α ≠ 0, натуральных логарифмов алгебраических чисел.
Алгебраические числа (продолжение).
Теорема Гельфонда о трансцендентности чисел вида α^β при алгебраических α ≠ 0, 1 и β ̸∈ Q (седьмая проблема Гильберта) и трансцендентность логарифмов алгебраических чисел при алгебраическом основании.
Теорема Шнейдера - Ленга и ее следствия. Доказательство теоремы.
Эллиптические функции и следствия теоремы Шнейдера-Ленга для них.

Введение: краткая биография Христиана Гольдбаха; его переписка с Эйлером; постановка бинарной и тернарной проблем.
Запись числа решений уравнения Гольдбаха в виде тригонометрического интеграла. Разбиение отрезка интегрирования на т.н. «большие» и «малые» дуги.
Исследование поведения тригонометрической суммы по простым числам вблизи рациональных точек с «малыми» знаменателями. Теоремы о простых числах в арифметической прогрессии с растущей разностью (без доказательства).
Выделение главного члена (асимптотика интеграла по «большим» дугам).
Оценка линейной тригонометрической суммы с простыми числами.
Метод И.М. Виноградова. Тождество Р. Вона.
Проблема «эффективизации»: получение оценки остаточного члена с эффективно вычисляемой постоянной (если позволит время).

Алгоритм возведения в степень.
Алгоритмы нахождения НОД.
Решение сравнений первой и второй степеней.
Решение полиномиальных сравнений по простому модулю.
Алгоритмы отбрасывания составных чисел.
Построение "больших " простых чисел.
Разложение на простые множители.
Дискретные логарифмы.
Криптографические схемы.

Геометрия чисел
Диофантовы приближения
Диофантовы уравнения
Цепные дроби
Алгебраические и трансцендентные числа
Мера иррациональности и мера трансцендентности

Оценки тригонометрических сумм по ван-дер- Корпуту. Функция Харди . Формула Римана-Зигеля. Приближенное функциональное уравнение .
Нули дзета-функции, лежащие на критической прямой. Теорема о расстоянии между соседними нулями , лежащими на критической прямой.
Связь дзета-функции с распределением простых чисел. Явные формулы. Выражение функции через нули . Формула Сельберга.
Асимптотические законы распределения простых чисел.
Замена тригонометрической суммы более короткой. Сведение тригонометрических сумм к тригонометрическим интегралам. Приближенное функциональное уравнение для.
Оценки дзетовой суммы.
Современная граница нулей