[Кафедра теории чисел]

Определение дзета-функции Римана и ее простейшие свойства. Обобщения функции . Аналитическое продолжение в область .
Ряды Дирихле, связанные с дзета-функцией.
Целые функции конечного порядка. Бесконечные произведения. Формула Вейерштрасса.
Гамма-функция Эйлера: функциональное уравнение, формула Стирлинга.
Тета-ряд и его свойства. Выражение дзета-функции через тета-ряд. Функциональное уравнение дзета-функции. Аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
Нетривиальные нули дзета-функции. Следствия из функционального уравнения для дзета-функции. Разложение логарифмической производной в ряд по нулям.
Теорема Ш. Валле-Пуссена о границе нулей дзета-функции.
Оценки тригонометрических сумм по ван-дер- Корпуту. Функция Харди . Формула Римана-Зигеля. Приближенное функциональное уравнение .
Нули дзета-функции, лежащие на критической прямой. Теорема о расстоянии между соседними нулями , лежащими на критической прямой.
Связь дзета-функции с распределением простых чисел. Явные формулы. Выражение функции через нули . Формула Сельберга.
Асимптотические законы распределения простых чисел.
Замена тригонометрической суммы более короткой. Сведение тригонометрических сумм к тригонометрическим интегралам. Приближенное функциональное уравнение для.
Оценки дзетовой суммы.
Современная граница нулей

Геометрия чисел
Диофантовы приближения
Диофантовы уравнения
Цепные дроби
Алгебраические и трансцендентные числа
Мера иррациональности и мера трансцендентности

Алгоритм возведения в степень.
Алгоритмы нахождения НОД.
Решение сравнений первой и второй степеней.
Решение полиномиальных сравнений по простому модулю.
Алгоритмы отбрасывания составных чисел.
Построение "больших " простых чисел.
Разложение на простые множители.
Дискретные логарифмы.
Криптографические схемы.

Формулы суммирования Абеля и Эйлера-Маклорена. Их следствия.
Функция Мангольдта. Функция Чебышева. Правильный порядок функции п(x)
Тождество Сельберга
Доказательство Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел
Характеры Дирихле.
Элементарное доказательство теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
Теоремы Чебышёва о наибольшем простом делителе чисел вида n^2+1

Аналитические в шаре функции
Логарифмическая и экспоненциальная функции
Многоугольники Ньютона для многочленов; связь с корнями
Многоугольники Ньютона для степенных рядов и нули аналитических функций
Интеграл Шнирельмана

Нормированные поля
Пополнение нормированного поля
Поле p-адических чисел
Сходимость последовательностей и рядов в полных неархимедовых нормированных полях
Лемма Гензеля
Компактность кольца целых чисел
Лемма Гаусса и продолжение нормы на поле рациональных функций
Продолжение нормы на алгебраическое замыкание
Построение полного алгебраически замкнутого расширения

Эллиптические функции и их свойства. Функции Вейерштрасса. Дифференциальное уравнение и теорема сложения для функции ℘(z). Условия алгебраической зависимости функций ℘(z) с различными периодами. Точки конечного порядка. Многочлены деления. Рекуррентные уравнения для многочленов деления.
Модулярная группа. Ряды Эйзенштейна и их свойства. Разложение в ряд Фурье рядов Эйзенштейна. Модулярные функции и формы. Нули и полюсы модулярной функции веса 2k. Дискриминант ∆(𝜏) и модулярный инвариант j(𝜏). Строение алгебры модулярных форм. Базис в пространстве модулярных форм заданного веса. Размерность этого пространства. Необращение в нуль дискриминанта и разрешимость уравнения j(𝜏) = с при любом комплексном с. Параметризация любой эллиптической кривой y^2= x^3- ax - b эллиптическими функциями Вейерштрасса. Целость коэффициентов рядов Фурье дискриминанта и модулярного инварианта. Выражение любой модулярной функции веса 0 через j(𝜏). Дифференциальные уравнения для рядов Эйзенштейна. Модулярное уравнение для j(𝜏). Алгебраичность значений модулярного инварианта в мнимых квадратичных точках. Теорема Шнейдера-Ленга (без доказательства). Трансцендентность модулярного инварианта j(𝜏) в алгебраических точках степени большей двух.
Кольцо R=K[x_0, … ,x_m], где K - конечное расширение поля рациональных чисел Q или поля рациональных функций C(z). Форма Чжоу однородных несмешанных идеалов I⸦R, их характеристики и свойства.
Критерий алгебраической независимости чисел.
Оценка кратностей нулей многочленов от решений алгебраических дифференциальных уравнений.
Степень трансцендентности поля, порождённого над Q значениями рядов Эйзенштейна. Следствия об алгебраической независимости и трансцендентности π, e^π, значений гамма-функции Эйлера в точках 1/4 и 1/3 , других чисел.