[Кафедра теории динамических систем]

Многообразия, отображения многообразий.
Касательные векторы и ковекторы. Касательные и кокасательные расслоения и их отображения.
Векторные поля и линейные дифференциальные формы.
Операции над векторными полями и дифференциальными формами.
Интегральные траектории векторных полей. Однопараметрические группы локальных диффеоморфизмов.
Подрасслоения касательных расслоений. Подмногообразия. Инволютивные подрасслоения.
Интегральные подмногообразия подрасслоений. Теорема Фробениуса.
Тензоры и тензорные расслоения. Отображения тензорных расслоений.
Тензорные поля. Дифференциальные формы. Операции над тензорными полями и дифференциальными формами.
Идеалы дифференциальных форм и подрасслоения. Дифференциальные идеалы и инволютивные подрасслоения

Измеримые множества и функции, дифференциальные уравнения Каратеодори
Достаточные условия Филиппова существования оптимального управления
Элементы хронологического исчисления Р.В.Гамкрелидзе—А.А.Аграчева
Дифференциальные формы
Элементы симплектической геометрии
Доказательство принципа максимума Понтрягина на многообразиях: геометрическая форма, задачи оптимального управления с различными граничными условиями
(Суб)лоренцевы задачи на группах Ли.
Почти римановы задачи.

Нормальные формы гладких (аналитических) векторных полей и их семейств вблизи особых точек. Примеры нерешенных задач.
Полная классификация типичных линейных уравнений второго порядка с частными производными на плоскости. Примеры нерешенных задач.
Теория структурной устойчивости типичных векторных полей и управляемых систем. Примеры нерешенных задач.

Примеры и постановки задач управления
Локальная управляемость нелинейных систем.
Теоремы об орбите, Рашевского-Чжоу, Фробениуса, Кренера.
Принцип максимума Понтрягина на многообразиях и группах Ли
Субриманова геометрия на группах Ли.
Приложения в механике, робототехнике, моделях зрения.

Многообразия, отображения многообразий.
Касательные векторы и ковекторы. Касательные и кокасательные расслоения и их отображения.
Векторные поля и линейные дифференциальные формы. Операции над векторными полями и дифференциальными формами.
Интегральные траектории векторных полей. Однопараметрические группы локальных диффеоморфизмов.
Подрасслоения касательных расслоений. Подмногообразия. Инволютивные подрасслоения.
Интегральные подмногообразия подрасслоений. Теорема Фробениуса.
Тензоры и тензорные расслоения. Отображения тензорных расслоений.
Тензорные поля. Дифференциальные формы. Операции над тензорными полями и дифференциальными формами.
Идеалы дифференциальных форм и подрасслоения. Дифференциальные идеалы и инволютивные подрасслоения.
Дифференциальные формы, ассоциированные с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Уравнения, не разрешенные относительно производных. Многозначные решения.
Дифференциальные формы, ассоциированные с дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка. Градиентная катастрофа и многозначные решения.
Глобальные многозначные решения задачи Коши. Существование и единственность глобальных решений. Невозможность градиентной катастрофы.

Росток гладкого отображения. Понятие струи, пространство k-струй. Теорема
о двух представителях струи. Гладкие тонкие топологии.
Понятие трансверсальности. Теоремы трансверсальности.
Локальная алгебра отображения в точке. Подготовительная теорема и следствия из неё.
Теорема Тужрона. Лемма Морса.
Понятия особенности и нормальной формы. Простые особенности.
Классификация простых особенностей гладких функций.
Версальные и миниверсальные деформации.
Типичные особенности в задачах параметрической оптимизации.
Понятие нормальной формы. Локальные нормальные формы гладких
векторных полей. Теоремы Пуанкаре и Пуанкаре -Дюлака.
Неявные дифференциальные уравнения первого порядка на прямой, их
нормальные формы и приложения.
Структурная устойчивость. Структурная устойчивость типичных векторных
полей на диске, двумерной сфере, компактных гладких ориентируемых
поверхностях. Системы Морса-Смейла.
Структурная устойчивость типичных управляемых систем на двумерной
сфере и на компактных гладких ориентируемых поверхностях.

Понятие нормальной формы. Локальные нормальные формы гладких
векторных полей. Теоремы Пуанкаре и Пуанкаре -Дюлака.
Неявные дифференциальные уравнения первого порядка на прямой, их
нормальные формы и приложения.
Структурная устойчивость. Структурная устойчивость типичных векторных
полей на диске, двумерной сфере, компактных гладких ориентируемых
поверхностях. Системы Морса-Смейла.
Структурная устойчивость типичных управляемых систем на двумерной
сфере и на компактных гладких ориентируемых поверхностях.

Росток гладкого отображения. Понятие струи, пространство k-струй. Теорема о двух
представителях струи. Гладкие тонкие топологии.
Понятие трансверсальности. Теоремы трансверсальности.
Локальная алгебра отображения в точке. Подготовительная теорема и следствия из неё.
Теорема Тужрона. Лемма Морса.
Понятия особенности и нормальной формы. Простые особенности. Классификация простых особенностей гладких функций.
Версальные и миниверсальные деформации.
Типичные особенности в задачах параметрической оптимизации.