Построение и анализ стохастических моделей
Название спецкурса на английском языке
Construction and analysis of stochastic models
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Полгода (весна)
Тип курса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2024/25
Список тем
Стационарные процессы и поля. Свойства ковариационных функций
Гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром. Теорема Ароншайна.
Спектральное представление
Задачи прогноза. Разложение Вольда. Формула Колмогорова – Сеге
Эргодическая теорема Биркгофа – Хинчина
Субаддитивная эргодическая теорема Кингмана - Лиггета. Следствие для
модели перколяции
Цепи Маркова и общие марковские процессы. Однородные марковские
процессы. Инвариантные меры
Закон больших чисел и центральная предельная теорема для марковских
цепей. Метод каплинга
Стационарные эргодические марковские процессы. Усиленный закон
больших чисел и функциональная центральная предельная теорема
Марковские случайные поля, заданные на конечном графе и принимающие
конечное число значений. Лемма об условной независимости трех случайных
элементов
Энергия и потенциал. Канонический потенциал. Формула Мебиуса.
Существование канонического потенциала. Гиббсовские случайные поля,
заданные на конечном графе и принимающие конечное число значений.
Клики и потенциал ближайших соседей
Теорема Аверинцева – Клиффорда – Хаммерсли (об эквивалентности
описания гиббсовских и марковских случайных полей на конечном графе)
Оценка радиуса окрестности взаимодействия для марковского случайного
поля
Модель Изинга
Гауссовские случайные процессы и поля. Свойства многомерных
гауссовских распределений. Условные плотности. Описание свойства
условной независимости компонент гауссовского вектора с помощью
элементов матрицы, обратной к ковариационной матрице. Локальное,
попарное и глобальное свойства марковости гауссовского случайного поля
Неравенства Слепяна, Судакова – Ферника и другие
Точечные пространственные процессы. Пространственный пуассоновский
процесс как точечный процесс. Функционал Лапласа. Теорема о функционале
Лапласа пространственного пуассоновского процесса. Точечные процессы со
стохастической интенсивностью
Семейства ассоциированных величин. Положительная и отрицательная
ассоциированность. Доказательство ассоциированности любого семейства
независимых действительных случайных величин
Теоремы Питта, Йоаг-Дева и Прошана. Примеры положительно и
отрицательно ассоциированных величин. Квазиассоциированность
гауссовских систем
Неравенство FKG для мер на решетках
Неравенство Булинского – Шабанович. Неравенство Ньюмена для
характеристических функций случайных векторов
Стремление множеств к бесконечности по Ван Хову. Регулярно растущие
подмножества многомерной целочисленной решетки. Связь двух упомянутых
понятий роста множеств
Асимптотическое поведение дисперсий сумм случайных величин,
образующих стационарное в широком смысле случайное поле, когда эти
суммы берутся по регулярно растущим множествам целочисленной решетки
Центральная предельная теорема для случайных полей. Гипотеза
Ньюмена. Формула Штайнера. Экскурсионные множества. Асимптотическая
нормальность объема экскурсионного множества для ассоциированных
случайных полей
Гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром. Теорема Ароншайна.
Спектральное представление
Задачи прогноза. Разложение Вольда. Формула Колмогорова – Сеге
Эргодическая теорема Биркгофа – Хинчина
Субаддитивная эргодическая теорема Кингмана - Лиггета. Следствие для
модели перколяции
Цепи Маркова и общие марковские процессы. Однородные марковские
процессы. Инвариантные меры
Закон больших чисел и центральная предельная теорема для марковских
цепей. Метод каплинга
Стационарные эргодические марковские процессы. Усиленный закон
больших чисел и функциональная центральная предельная теорема
Марковские случайные поля, заданные на конечном графе и принимающие
конечное число значений. Лемма об условной независимости трех случайных
элементов
Энергия и потенциал. Канонический потенциал. Формула Мебиуса.
Существование канонического потенциала. Гиббсовские случайные поля,
заданные на конечном графе и принимающие конечное число значений.
Клики и потенциал ближайших соседей
Теорема Аверинцева – Клиффорда – Хаммерсли (об эквивалентности
описания гиббсовских и марковских случайных полей на конечном графе)
Оценка радиуса окрестности взаимодействия для марковского случайного
поля
Модель Изинга
Гауссовские случайные процессы и поля. Свойства многомерных
гауссовских распределений. Условные плотности. Описание свойства
условной независимости компонент гауссовского вектора с помощью
элементов матрицы, обратной к ковариационной матрице. Локальное,
попарное и глобальное свойства марковости гауссовского случайного поля
Неравенства Слепяна, Судакова – Ферника и другие
Точечные пространственные процессы. Пространственный пуассоновский
процесс как точечный процесс. Функционал Лапласа. Теорема о функционале
Лапласа пространственного пуассоновского процесса. Точечные процессы со
стохастической интенсивностью
Семейства ассоциированных величин. Положительная и отрицательная
ассоциированность. Доказательство ассоциированности любого семейства
независимых действительных случайных величин
Теоремы Питта, Йоаг-Дева и Прошана. Примеры положительно и
отрицательно ассоциированных величин. Квазиассоциированность
гауссовских систем
Неравенство FKG для мер на решетках
Неравенство Булинского – Шабанович. Неравенство Ньюмена для
характеристических функций случайных векторов
Стремление множеств к бесконечности по Ван Хову. Регулярно растущие
подмножества многомерной целочисленной решетки. Связь двух упомянутых
понятий роста множеств
Асимптотическое поведение дисперсий сумм случайных величин,
образующих стационарное в широком смысле случайное поле, когда эти
суммы берутся по регулярно растущим множествам целочисленной решетки
Центральная предельная теорема для случайных полей. Гипотеза
Ньюмена. Формула Штайнера. Экскурсионные множества. Асимптотическая
нормальность объема экскурсионного множества для ассоциированных
случайных полей
Список источников
А.В. Булинский, А.П. Шашкин. Предельные теоремы для
ассоциированных случайных полей и родственных систем. ФИЗМАТЛИТ,
2008.
J. Beran. Mathematical Foundations of Time Series Analysis. A Concise
Introduction. Springer, 2017.
P. Bremaud. Probability Theory and Stochastic Processes. Springer, 2020.
P. Bremaud. An Introduction to Applied Probability. Springer, 2024.
R. Bhattacharya, E. C. Waymire. Stationary Processes and Discrete Parameter
Markov Processes. Springer, 2022.
A. Bulinski, E. Spodarev. Introduction to random fields. Lecture Notes in
Mathematics, v. 2068, p. 277-335, Springer, Berlin, 2013.
V. S. Mandrekar, L. Gawarecki. Stochastic Analysis for Gaussian Random
Processes and Fields. With Applications. CRC Press, 2016.
ассоциированных случайных полей и родственных систем. ФИЗМАТЛИТ,
2008.
J. Beran. Mathematical Foundations of Time Series Analysis. A Concise
Introduction. Springer, 2017.
P. Bremaud. Probability Theory and Stochastic Processes. Springer, 2020.
P. Bremaud. An Introduction to Applied Probability. Springer, 2024.
R. Bhattacharya, E. C. Waymire. Stationary Processes and Discrete Parameter
Markov Processes. Springer, 2022.
A. Bulinski, E. Spodarev. Introduction to random fields. Lecture Notes in
Mathematics, v. 2068, p. 277-335, Springer, Berlin, 2013.
V. S. Mandrekar, L. Gawarecki. Stochastic Analysis for Gaussian Random
Processes and Fields. With Applications. CRC Press, 2016.
День недели
четверг
Время
16:45-18:20
Аудитория
1404
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1404
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.