Ветвящиеся процессы с пространственной динамикой
Название спецкурса на английском языке
Branching processes with spatial dynamics
Пререквизиты
Курсы по теории вероятностей, математическому и функциональному анализу
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2026/27
Список тем
Случайное блуждание по многомерной решетке. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона. Описание модели ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем по многомерным решеткам.
Производящие функции Лапласа для численностей частиц в каждой точке решетки и общей численности частиц на всей решетке.
Дифференциальные и интегральные уравнения для моментов
Свойства возмущенного генератора случайного блуждания
Задача Коши для уравнений первых моментов. О монотонности решения задачи Коши
Понятие критичности ветвящегося случайного блуждания. Предельное по времени поведение моментов в надкритическом случае
Предельная теорема для надкритического случайного блуждания
Общие методы исследования в критическом и докритическом случаях. Лемма о свертках
Критический случай. Первые моменты численностей частиц на решетках размерностей меньших пяти
Критический случай. Первые моменты численностей частиц на решетках размерностей больших четырех и старшие моменты
Докритический случай. Первые моменты
Докритический случай. Старшие моменты
Вероятность выживания популяции
Вероятность наличия частиц в произвольной точке
Влияние интенсивности источника и размерности пространства на свойства ветвящегося случайного блуждания. Предельные теоремы
Производящие функции Лапласа для численностей частиц в каждой точке решетки и общей численности частиц на всей решетке.
Дифференциальные и интегральные уравнения для моментов
Свойства возмущенного генератора случайного блуждания
Задача Коши для уравнений первых моментов. О монотонности решения задачи Коши
Понятие критичности ветвящегося случайного блуждания. Предельное по времени поведение моментов в надкритическом случае
Предельная теорема для надкритического случайного блуждания
Общие методы исследования в критическом и докритическом случаях. Лемма о свертках
Критический случай. Первые моменты численностей частиц на решетках размерностей меньших пяти
Критический случай. Первые моменты численностей частиц на решетках размерностей больших четырех и старшие моменты
Докритический случай. Первые моменты
Докритический случай. Старшие моменты
Вероятность выживания популяции
Вероятность наличия частиц в произвольной точке
Влияние интенсивности источника и размерности пространства на свойства ветвящегося случайного блуждания. Предельные теоремы
Список источников
1. В. И. Афанасьев. Случайные блуждания и ветвящиеся процессы. Лекционные курсы НОЦ. М : МИАН, 2007. 188 с.
ISBN: 5-98419-018-4.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.
3. Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. 247 с.
4. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1973. Т. II. 640 с.
5. Далецкий Ю. Л., Крейн M. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534
6. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967. 231 с.
7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 739 с.
8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 393
9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 426 с.
10. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 442 с.
11. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука, 1985. 144 с.
12. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.
13. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.
14. Яровая Е. Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: МЦНМО, 2025. 112 с. ISBN: 978-5-4439-1919-5.
15. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 4. С. 705–731.
16. Яровая Е. Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся блужданий с несколькими источниками ветвления // Математические заметки. 2012. Т. 92, № 1. С. 124–140.
17. Яровая Е. Б. Пространственная структура ветвящихся случайных блужданий. М.: МЦНМО, 2024. 304 с. ISBN: 978-5-4439-1868-6.
ISBN: 5-98419-018-4.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.
3. Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. 247 с.
4. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1973. Т. II. 640 с.
5. Далецкий Ю. Л., Крейн M. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534
6. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967. 231 с.
7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 739 с.
8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 393
9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 426 с.
10. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 442 с.
11. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука, 1985. 144 с.
12. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.
13. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.
14. Яровая Е. Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: МЦНМО, 2025. 112 с. ISBN: 978-5-4439-1919-5.
15. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 4. С. 705–731.
16. Яровая Е. Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся блужданий с несколькими источниками ветвления // Математические заметки. 2012. Т. 92, № 1. С. 124–140.
17. Яровая Е. Б. Пространственная структура ветвящихся случайных блужданий. М.: МЦНМО, 2024. 304 с. ISBN: 978-5-4439-1868-6.
Дополнительная информация
Курс посвящен современному разделу теории случайных процессов − теории ветвящихся случайных блужданий по многомерным целочисленным решеткам. С помощью ветвящихся случайных блужданий изучается поведение систем, элементы которых могут размножаться, исчезать или перемещаться по пространству в различных средах по правилам, учитывающим фактор случайности. Обычно такие процессы описываются в терминах рождения, гибели и блуждания частиц. Центральная задача теории ветвящихся случайных блужданий – изучение эволюции процессов во времени в зависимости от структуры среды. Принципиальную роль здесь играет модель с конечным числом источников ветвления, которая позволяет исследовать эффекты, обусловленные двумя принципиально важными обстоятельствами: неоднородностью ветвящейся среды и неограниченностью пространства, в котором происходит блуждание. Задачи, рассмотренные в этом курсе, объединены общим методом основанном на анализе асимптотики целочисленных моментов популяции частиц, а также численностей частиц в каждом узле решетки.
День недели
среда
Время
18:30-20:05
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1603
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Статистический анализ медико-биологических данных
Название спецкурса на английском языке
Statistical analysis of biomedical data
Пререквизиты
Теория вероятностей
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2026/27
Список тем
Основы доказательной медицины. Особенности применения статистических методов в медицине. Замечания о планировании эксперимента.
Основные понятия и цели теории вероятностей. Вероятностная модель с дискретным числом исходов. События и их вероятности. Независимость событий. Представление об общем вероятностном пространстве. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины. Функции распределения и плотности абсолютно непрерывных случайных величин. Характеристики распределений. Зависимые и независимые случайные величины. Понятие о совместной функции распределения случайных величин.
Законы распределения вероятностей, распространенные в практике прикладных статистических исследований. Дискретные распределения: биномиальное распределение, полиномиальное распределение, отрицательное биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения. Непрерывные распределения: равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение и их свойства. Распределения, связанные с нормальным. Многомерное нормальное распределение. Примеры использования различных видов распределений при моделировании.
Основные результаты теории вероятностей. Неравенства Чебышева. Законы больших чисел и центральные предельные теоремы. Преобразования случайных величин.
Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки. Основные способы организации выборки. Эмпирическая функция распределения. Эмпирическая плотность распределения. Гистограмма. Примеры. Оценивание параметров распределения по выборке. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Построение непрерывных функций распределений и плотностей распределений по заданным параметрам в пакете STATISTICA. Вычисление вероятности событий для заданных распределений. Примеры.
Точечное оценивание. Выборочные характеристики распределения. Выборочные оценки математического ожидания и дисперсии, их несмещенность. Выборочные медиана, мода, асимметрия, эксцесс, квантили. Примеры описания данных.
Понятие доверительного интервала. Метод построения доверительных интервалов. Доверительные интервалы для параметра μ в случае выборки из нормально распределенной генеральной совокупности со средним μ и дисперсией σ^2: при известной дисперсии σ^2; при неизвестной дисперсии σ^2. Доверительные интервалы для параметра σ^2 в случае выборки из нормально распределенной генеральной совокупности со средним μ и дисперсией σ^2 : при известном среднем μ; при неизвестном среднем μ. Доверительные интервалы для доли и разности долей.
Статистическая гипотеза. Простые и сложные статистические гипотезы. Критерий согласия χ^2 Пирсона. Проверка гипотез о нормальности распределения. Типичные этапы проверки статистической гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Ранги и ранжирование. Параметрические и непараметрические критерии проверки статистических гипотез.
Ковариация. Коэффициент корреляции как мера зависимости случайных величин.
Соотношение между некоррелированностью и независимостью. Выборочный коэффициент корреляции Пирсона. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена. Примеры.
Чувствительность и специфичность в клинических исследованиях. ROC-анализ. Примеры.
Анализ двух независимых выборок с использованием параметрических критериев. Критерий Стьюдента в случае равных и неравных дисперсий. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий. Анализ парных выборок параметрическими критериями. Непараметрические аналоги: U критерий Манна-Уитни для независимых выборок; критерий Уилкоксона (Вилкоксона) и критерий знаков для парных выборок.
Проверка зависимости в таблице сопряженности признаков. Критерий χ^2 Пирсона. Точный критерий Фишера для таблицы сопряженности 2х2. Коррекция критерия χ^2 для таблиц 2x2 с помощью поправки на непрерывность Йетса. Критерий Мак-Нимара.
Дисперсионный анализ по одному признаку. Статистическая модель. Критериальная статистика и ее предельное распределение. Непараметрический критерий Краскела-Уоллиса. Непараметрический критерий медианы.
Несколько независимых выборок. Множественные сравнения. Корректировка отдельных p-значений. Множественный t-критерий. Критерий Тьюки для равных и неравных выборок. Критерий Шеффе. Непараметрические критерии множественных сравнений.
Дисперсионный анализ повторных измерений. Ранговый критерий Фридмана. Коэффициент согласия Кендэлла. Множественные сравнения в модели повторных измерений. Критерии Ньюмена-Кейлса и Даннета. Примеры.
Линейная регрессия и метод наименьших квадратов. Таблица дисперсионного анализа линейной регрессии. Коэффициент детерминации. Точечные и доверительные оценки параметров линии регрессии. Пошаговая регрессия. Логистическая регрессия. Отношение шансов. Доверительные интервалы для отношения шансов. Примеры.
Анализ выживаемости. Требования к анализу выживаемости. Построение кривой дожития методом Каплана-Мейера. Примеры. Критерии сравнения двух кривых дожития. Критерий сравнения трех и более кривых дожития. Построение модели Кокса пропорциональных рисков. Примеры.
Основные понятия и цели теории вероятностей. Вероятностная модель с дискретным числом исходов. События и их вероятности. Независимость событий. Представление об общем вероятностном пространстве. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины. Функции распределения и плотности абсолютно непрерывных случайных величин. Характеристики распределений. Зависимые и независимые случайные величины. Понятие о совместной функции распределения случайных величин.
Законы распределения вероятностей, распространенные в практике прикладных статистических исследований. Дискретные распределения: биномиальное распределение, полиномиальное распределение, отрицательное биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения. Непрерывные распределения: равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение и их свойства. Распределения, связанные с нормальным. Многомерное нормальное распределение. Примеры использования различных видов распределений при моделировании.
Основные результаты теории вероятностей. Неравенства Чебышева. Законы больших чисел и центральные предельные теоремы. Преобразования случайных величин.
Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки. Основные способы организации выборки. Эмпирическая функция распределения. Эмпирическая плотность распределения. Гистограмма. Примеры. Оценивание параметров распределения по выборке. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Построение непрерывных функций распределений и плотностей распределений по заданным параметрам в пакете STATISTICA. Вычисление вероятности событий для заданных распределений. Примеры.
Точечное оценивание. Выборочные характеристики распределения. Выборочные оценки математического ожидания и дисперсии, их несмещенность. Выборочные медиана, мода, асимметрия, эксцесс, квантили. Примеры описания данных.
Понятие доверительного интервала. Метод построения доверительных интервалов. Доверительные интервалы для параметра μ в случае выборки из нормально распределенной генеральной совокупности со средним μ и дисперсией σ^2: при известной дисперсии σ^2; при неизвестной дисперсии σ^2. Доверительные интервалы для параметра σ^2 в случае выборки из нормально распределенной генеральной совокупности со средним μ и дисперсией σ^2 : при известном среднем μ; при неизвестном среднем μ. Доверительные интервалы для доли и разности долей.
Статистическая гипотеза. Простые и сложные статистические гипотезы. Критерий согласия χ^2 Пирсона. Проверка гипотез о нормальности распределения. Типичные этапы проверки статистической гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Ранги и ранжирование. Параметрические и непараметрические критерии проверки статистических гипотез.
Ковариация. Коэффициент корреляции как мера зависимости случайных величин.
Соотношение между некоррелированностью и независимостью. Выборочный коэффициент корреляции Пирсона. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена. Примеры.
Чувствительность и специфичность в клинических исследованиях. ROC-анализ. Примеры.
Анализ двух независимых выборок с использованием параметрических критериев. Критерий Стьюдента в случае равных и неравных дисперсий. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий. Анализ парных выборок параметрическими критериями. Непараметрические аналоги: U критерий Манна-Уитни для независимых выборок; критерий Уилкоксона (Вилкоксона) и критерий знаков для парных выборок.
Проверка зависимости в таблице сопряженности признаков. Критерий χ^2 Пирсона. Точный критерий Фишера для таблицы сопряженности 2х2. Коррекция критерия χ^2 для таблиц 2x2 с помощью поправки на непрерывность Йетса. Критерий Мак-Нимара.
Дисперсионный анализ по одному признаку. Статистическая модель. Критериальная статистика и ее предельное распределение. Непараметрический критерий Краскела-Уоллиса. Непараметрический критерий медианы.
Несколько независимых выборок. Множественные сравнения. Корректировка отдельных p-значений. Множественный t-критерий. Критерий Тьюки для равных и неравных выборок. Критерий Шеффе. Непараметрические критерии множественных сравнений.
Дисперсионный анализ повторных измерений. Ранговый критерий Фридмана. Коэффициент согласия Кендэлла. Множественные сравнения в модели повторных измерений. Критерии Ньюмена-Кейлса и Даннета. Примеры.
Линейная регрессия и метод наименьших квадратов. Таблица дисперсионного анализа линейной регрессии. Коэффициент детерминации. Точечные и доверительные оценки параметров линии регрессии. Пошаговая регрессия. Логистическая регрессия. Отношение шансов. Доверительные интервалы для отношения шансов. Примеры.
Анализ выживаемости. Требования к анализу выживаемости. Построение кривой дожития методом Каплана-Мейера. Примеры. Критерии сравнения двух кривых дожития. Критерий сравнения трех и более кривых дожития. Построение модели Кокса пропорциональных рисков. Примеры.
Список источников
[1] Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ// M: “Мир”, 1982.
[2] Гланц C. Медико-биологическая статистика// М:“Практика”, 1999.
[3] Поллард Д. Справочник по вычислительным методам статистики// M: “Финансы и статистика”, 1982.
[4] Тюрин Ю. Н., Макаров A. А, Анализ данных на компьютере// M: “Финансы и статисти¬ка”, 1995.
[5] Флетчер Р., Флетчер C., Вагнер Э. Клиническая эпидемиология. Основы доказательной медицины// М: “Медиа Сфера”, 1998.
[6] Matthews D. E., Farewell V. T. Using and Understanding Medical Statistics// Basel: Karger, 3rd edition, 1996.
[7] Pocock S. J. Clinical Trials. A Practical Approach// New York: John Wiley and Sons, 1984.
[8] Sachs L. Applied Statistics/'/New York: Springer-Verlag, 1984.
[9] Zar J. Н. Biostatistical Analysis// New Jersey: Prentice-Hall, Second Edition, 1984.
[10] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения// Т. 1-2. М: “Мир”, 1984.
[11] Methods and Applications of Statistics in Clinical Trials. Concepts, Principles, and Designs. Volume 1. Ed. N. Balakrishnan.// New Jersey: John Wiley and Sons, 2014.
[2] Гланц C. Медико-биологическая статистика// М:“Практика”, 1999.
[3] Поллард Д. Справочник по вычислительным методам статистики// M: “Финансы и статистика”, 1982.
[4] Тюрин Ю. Н., Макаров A. А, Анализ данных на компьютере// M: “Финансы и статисти¬ка”, 1995.
[5] Флетчер Р., Флетчер C., Вагнер Э. Клиническая эпидемиология. Основы доказательной медицины// М: “Медиа Сфера”, 1998.
[6] Matthews D. E., Farewell V. T. Using and Understanding Medical Statistics// Basel: Karger, 3rd edition, 1996.
[7] Pocock S. J. Clinical Trials. A Practical Approach// New York: John Wiley and Sons, 1984.
[8] Sachs L. Applied Statistics/'/New York: Springer-Verlag, 1984.
[9] Zar J. Н. Biostatistical Analysis// New Jersey: Prentice-Hall, Second Edition, 1984.
[10] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения// Т. 1-2. М: “Мир”, 1984.
[11] Methods and Applications of Statistics in Clinical Trials. Concepts, Principles, and Designs. Volume 1. Ed. N. Balakrishnan.// New Jersey: John Wiley and Sons, 2014.
Дополнительная информация
В курсе напоминаются фундаментальные понятия теории вероятностей и рассматриваются основы математической статистики, а также их применение в медицинской практике: диагностике, лечении и профилактике. Клинические примеры облегчают понимание излагаемого материала. Их статистический анализ проиллюстрирован с использованием стандартных пакетов статистических программ. Курс рассчитан как на студентов и аспирантов механико-математического факультета, так и на исследователей, проводящих статистический анализ медико-биологических данных.
День недели
пятница
Время
15:00-16:35
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1224
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Случайные блуждания по многомерным решеткам
Название спецкурса на английском языке
Random walks on multidimensional lattices
Пререквизиты
Курсы по теории вероятностей, математическому и функциональному анализу
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2026/27
Список тем
Описание модели симметричного случайного блуждания с непрерывным временем. Симметричные и симметризуемые случайные блуждания. Примеры
Элементы теории линейных операторов в банаховых пространствах. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах
Эволюционный оператор случайных блужданий. Обратные уравнения Колмогорова. Лемма Шура
Дискретное преобразование Фурье переходных интенсивностей случайного блуждания. Условие конечной дисперсии скачков случайного блуждания
Интегралы Лапласа. Теоремы об асимптотическом поведении интегралов Лапласа
Локальная предельная теорема о поведении переходных вероятностей случайного блуждания
Теоремы о симметризуемых случайных блужданиях. О монотонности решения обратного уравнения Колмогорова
Функция Грина случайного блуждания. Возвратность и невозвратность случайного блуждания в терминах функции Грина. Анализ асимптотического поведения функции Грина при фиксированной пространственной координате.
Тауберовы теоремы и их применение к исследованию функции Грина.
Большие уклонения случайного блуждания. Простое симметричное случайное блуждание. Связь между многомерными и одномерными переходными вероятностями.
Глобальная теорема о переходных вероятностях. Одномерная решетка
Глобальная теорема о переходных вероятностях. Многомерная решетка
Шкала изменения вероятности при совместном росте пространственной и временной переменной. Предельные теоремы о переходных вероятностях при различных соотношениях между уклонением блуждания и временем. Локальная предельная теорема как следствие глобальной предельной теоремы
Метод Лапласа и его применение к доказательству предельных теорем о поведении функции Грина. Теорема о поведении функции Грина при фиксированном положительном параметре.
Теорема о поведении функции Грина при малых значениях параметра. Теорема о поведении функции Грина при нулевом параметре для невозвратных случайных блужданий.
Элементы теории линейных операторов в банаховых пространствах. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах
Эволюционный оператор случайных блужданий. Обратные уравнения Колмогорова. Лемма Шура
Дискретное преобразование Фурье переходных интенсивностей случайного блуждания. Условие конечной дисперсии скачков случайного блуждания
Интегралы Лапласа. Теоремы об асимптотическом поведении интегралов Лапласа
Локальная предельная теорема о поведении переходных вероятностей случайного блуждания
Теоремы о симметризуемых случайных блужданиях. О монотонности решения обратного уравнения Колмогорова
Функция Грина случайного блуждания. Возвратность и невозвратность случайного блуждания в терминах функции Грина. Анализ асимптотического поведения функции Грина при фиксированной пространственной координате.
Тауберовы теоремы и их применение к исследованию функции Грина.
Большие уклонения случайного блуждания. Простое симметричное случайное блуждание. Связь между многомерными и одномерными переходными вероятностями.
Глобальная теорема о переходных вероятностях. Одномерная решетка
Глобальная теорема о переходных вероятностях. Многомерная решетка
Шкала изменения вероятности при совместном росте пространственной и временной переменной. Предельные теоремы о переходных вероятностях при различных соотношениях между уклонением блуждания и временем. Локальная предельная теорема как следствие глобальной предельной теоремы
Метод Лапласа и его применение к доказательству предельных теорем о поведении функции Грина. Теорема о поведении функции Грина при фиксированном положительном параметре.
Теорема о поведении функции Грина при малых значениях параметра. Теорема о поведении функции Грина при нулевом параметре для невозвратных случайных блужданий.
Список источников
1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.
2. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана при больших уклонениях случайного блуждания // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76, № 6. С. 123–152.
3. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.
4. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
5. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.
6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.
7. Яровая Е. Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: МЦНМО, 2025. 112 с. ISBN: 978-5-4439-1919-5.
8. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 4. С. 705–731.
9. Яровая Е. Б. Монотонность вероятности возвращения в источник в моделях ветвящихся случайных блужданий // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2010. № 2. С. 44–47.
2. Молчанов С. А., Яровая Е. Б. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана при больших уклонениях случайного блуждания // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76, № 6. С. 123–152.
3. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.
4. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
5. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.
6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.
7. Яровая Е. Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: МЦНМО, 2025. 112 с. ISBN: 978-5-4439-1919-5.
8. Яровая Е. Б. Критерии экспоненциального роста числа частиц в моделях ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55, № 4. С. 705–731.
9. Яровая Е. Б. Монотонность вероятности возвращения в источник в моделях ветвящихся случайных блужданий // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2010. № 2. С. 44–47.
Дополнительная информация
Курс посвящен изложению основных принципов теории случайных блужданий с непрерывным временем по многомерным решеткам. Такие процессы изучают перемещение объектов под действием некоторого случайного механизма и возникают как в прикладных, так и в теоретических исследованиях. Особое внимание уделено анализу асимптотического поведения переходных вероятностей случайного блуждания по времени, как при фиксированных пространственных координатах, так и при совместном росте пространственной и временной переменных. Доказываются предельные теоремы о функциях Грина переходных вероятностей при произвольных значениях параметра и больших уклонениях случайного блуждания. Курс служит основой для изучения теории ветвящихся случайных блужданий, т.е. случайных систем не только с транспортом, но и с размножением и исчезновением элементов, одной из интенсивно развивающихся современных областей теории вероятностей и случайных процессов.
День недели
среда
Время
18:30-20:05
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1603
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Случайные сети: структура, рост и критические явления
Название спецкурса на английском языке
Random networks: structure, growth, and critical phenomena
Пререквизиты
Базовый курс теории вероятностей, математический анализ и линейная алгебра. Желательно знакомство с цепями Маркова и элементарными понятиями теории графов. Необходимые сведения о ветвящихся процессах и специальных моделях случайных графов будут изложены в курсе.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2026/27
Список тем
Основные характеристики случайных сетей: распределения степеней, расстояния, кластеризация и связность
Графы Эрдёша — Реньи и конфигурационная модель
Ветвящиеся процессы и возникновение гигантской компоненты
Статистические ансамбли равновесных случайных сетей
Корреляции степеней и их влияние на структуру сети
Конденсация рёбер в равновесных сетях
Растущие сети и преимущественное присоединение
Неоднородность и нелинейные механизмы присоединения в растущих сетях
Перколяция и устойчивость сетей к удалению вершин и рёбер
Графы Эрдёша — Реньи и конфигурационная модель
Ветвящиеся процессы и возникновение гигантской компоненты
Статистические ансамбли равновесных случайных сетей
Корреляции степеней и их влияние на структуру сети
Конденсация рёбер в равновесных сетях
Растущие сети и преимущественное присоединение
Неоднородность и нелинейные механизмы присоединения в растущих сетях
Перколяция и устойчивость сетей к удалению вершин и рёбер
Список источников
Dorogovtsev S. N., Mendes J. F. F. The Nature of Complex Networks. Oxford University Press, 2022.
Dorogovtsev S. N., Mendes J. F. F. Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW. Oxford University Press, 2003.
Durrett R. Random Graph Dynamics. Cambridge University Press, 2007.
Dorogovtsev S. N., Goltsev A. V., Mendes J. F. F. Critical phenomena in complex networks. Reviews of Modern Physics, 80, 1275–1335, 2008.
Dorogovtsev S. N., Mendes J. F. F. Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW. Oxford University Press, 2003.
Durrett R. Random Graph Dynamics. Cambridge University Press, 2007.
Dorogovtsev S. N., Goltsev A. V., Mendes J. F. F. Critical phenomena in complex networks. Reviews of Modern Physics, 80, 1275–1335, 2008.
Дополнительная информация
Курс посвящён вероятностным моделям сложных сетей и методам исследования их структуры и эволюции. Рассматриваются связи между распределением степеней, корреляциями, связностью и критическими явлениями. Изложение сочетает вероятностные методы, идеи статистической механики и разбор конкретных моделей. Перечень и глубина изучения отдельных тем могут уточняться в зависимости от подготовки слушателей.
День недели
пятница
Время
20:15-21:50
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1603
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Стохастические методы: избранные вопросы и приложения
Название спецкурса на английском языке
Stochastic methods: selected topics and applications
Пререквизиты
Хорошее владение математическим анализом, линейной алгеброй и теорией вероятностей в рамках базовых учебных курсов.
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента на английском языке
Учебный год
2026/27
Список тем
Математические методы построения многомерных стохастических моделей
Обзор современных областей применения стохастических методов и примеров их реализации
Методы теории марковских процессов
Методы теории гауссовских процессов
Понятия стационарности, нестационарности и эргодичности, их влияние на моделирование и статистический вывод
Обзор современных областей применения стохастических методов и примеров их реализации
Методы теории марковских процессов
Методы теории гауссовских процессов
Понятия стационарности, нестационарности и эргодичности, их влияние на моделирование и статистический вывод
Список источников
An introduction to stochastic modeling / Howard M. Taylor, Samuel Karlin. - 3rd ed.
Kijima M. Markov Processes for Stochastic Modeling, Springer US (1997)
Murphy, K. P. Machine Learning: a Probabilistic Perspective / MIT Press, 2012
Tijms , H.C. A First Course in Stochastic Models , (2003)
Oksendal B (2013) Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 5th ed.
Rasmussen, Williams (2006) Gaussian Processes for Machine Learning
Asmussen S, Glynn PW (2010) Stochastic Simulation Algorithms and Analysis
Bremaud P. (2020) Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues. Second Ed.
Kijima M. Markov Processes for Stochastic Modeling, Springer US (1997)
Murphy, K. P. Machine Learning: a Probabilistic Perspective / MIT Press, 2012
Tijms , H.C. A First Course in Stochastic Models , (2003)
Oksendal B (2013) Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 5th ed.
Rasmussen, Williams (2006) Gaussian Processes for Machine Learning
Asmussen S, Glynn PW (2010) Stochastic Simulation Algorithms and Analysis
Bremaud P. (2020) Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues. Second Ed.
Дополнительная информация
Заинтересованным студентам, аспирантам, магистрантам предлагается безотлагательно сделать следующее
- написать мне письмо: МАНИТА Анатолий Дмитриевич anatoly . manita@ math. msu.ru
- записаться на сайте scs
День недели
по согласованию
Время
по согласованию
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Стохастические модели многокомпонентных систем
Название спецкурса на английском языке
Stochastic models of multi-component systems
Пререквизиты
Хорошее владение математическим анализом, линейной алгеброй и теорией вероятностей в рамках базовых учебных курсов, читаемых на механико-математическом факультете.
Полезны, но необязательны, начальные навыки в программировании и представление о простейших алгоритмах
Полезны, но необязательны, начальные навыки в программировании и представление о простейших алгоритмах
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору студента
Учебный год
2026/27
Список тем
Популярные вероятностные модели многокомпонентных систем: процессы с запретами, процессы контактов, модель Изинга , модели синхронизации и др.
Современные аспекты моделирования таких систем.
Взаимовлияние в обратную сторону: использование классических случайных многокомпонентных систем в современных алгоритмах.
Построение математических моделей на основе аппарата классических марковских процессов. Скрытые марковские модели и основные вопросы, связанные с ними
О вероятностных, алгебраических и спектральных методах для анализа поведения стохастических многокомпонентных систем
Марковские многокомпонентные систем с синхронизацией, основанные на системах броуновских частиц и на системе взаимодействующих диффузий. Вероятностные модели сенсорных сетей.
Современные аспекты моделирования таких систем.
Взаимовлияние в обратную сторону: использование классических случайных многокомпонентных систем в современных алгоритмах.
Построение математических моделей на основе аппарата классических марковских процессов. Скрытые марковские модели и основные вопросы, связанные с ними
О вероятностных, алгебраических и спектральных методах для анализа поведения стохастических многокомпонентных систем
Марковские многокомпонентные систем с синхронизацией, основанные на системах броуновских частиц и на системе взаимодействующих диффузий. Вероятностные модели сенсорных сетей.
Список источников
Kijima M. Markov Processes for Stochastic Modeling, Springer US (1997)
Kolmogorov A.N. On The Theory of Markov Chains. In Selected Works of A. N. Kolmogorov (ed. A.N. Shiryaev ) , pp 182-187, Springer 1992. (‘ Zur Theorie der Markoffschen Ketten ’, Math. Ann. 112 (1936), 155-160.)
Manita A. Clock synchronization in symmetric stochastic networks // Queueing Systems. — 2014. — Vol. 76, no. 2. — P. 149–180
D. Mitra , I. Mitrani , Analysis and Optimum performance of two message-passing parallel processors synchronized by rollback. Performance Evaluation 7 (1987), 111-124
Norris J.R. Markov Chains , Cambridge University Press (1997)
Fayolle G., Malyshev V.A., Menshikov M.V. Topics i n constructive theory of countable Markov chains, Cambridge University, 1995
Tijms , H.C. A First Course in Stochastic Models , (2003)
Minc , H. Nonnegative Matrices. Wiley- Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. Wiley, New York, NY, USA, 1988.
Seneta , E. Non-Negative Matrices and Markov Chains, revised ed. Springer series in statistics. Springer- Verlag , Berlin, Germany / Heidelberg, Germany / London, UK / etc., 2006.
Murphy, K. P. Machine Learning: a Probabilistic Perspective / MIT Press, 2012
Лиггетт Т.М. Марковские процессы с локальным взаимодействием. Пер. с англ. — Москва: Мир, 1989. — 550 с.
Карлин С. Основы теории случайных процессов: Пер. с англ. — М.: Мир, 1971.
Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля. Метод кластерных разложений . - М : Наука, 1985
Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х книгах, 3-е изд., перераб . и доп. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
Коваленко И.Н., Гнеденко Б.В. Теория вероятностей - Киев: Высшая школа , 1990.
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
Гантмахер , Ф.Р. Теория матриц, 5-е изд. М.: Физматлит , 2004.
Манита А.Д. Коллективное поведение в многомерных вероятностных моделях cинхронизации . Обозрение прикладной и промышленной математики, том 14, № 6, с. 1001-1021 (2007)
Синай Я.Г. Теория фазовых переходов: Строгие результаты. Москва: Издательство «Наука», 1980
Kolmogorov A.N. On The Theory of Markov Chains. In Selected Works of A. N. Kolmogorov (ed. A.N. Shiryaev ) , pp 182-187, Springer 1992. (‘ Zur Theorie der Markoffschen Ketten ’, Math. Ann. 112 (1936), 155-160.)
Manita A. Clock synchronization in symmetric stochastic networks // Queueing Systems. — 2014. — Vol. 76, no. 2. — P. 149–180
D. Mitra , I. Mitrani , Analysis and Optimum performance of two message-passing parallel processors synchronized by rollback. Performance Evaluation 7 (1987), 111-124
Norris J.R. Markov Chains , Cambridge University Press (1997)
Fayolle G., Malyshev V.A., Menshikov M.V. Topics i n constructive theory of countable Markov chains, Cambridge University, 1995
Tijms , H.C. A First Course in Stochastic Models , (2003)
Minc , H. Nonnegative Matrices. Wiley- Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. Wiley, New York, NY, USA, 1988.
Seneta , E. Non-Negative Matrices and Markov Chains, revised ed. Springer series in statistics. Springer- Verlag , Berlin, Germany / Heidelberg, Germany / London, UK / etc., 2006.
Murphy, K. P. Machine Learning: a Probabilistic Perspective / MIT Press, 2012
Лиггетт Т.М. Марковские процессы с локальным взаимодействием. Пер. с англ. — Москва: Мир, 1989. — 550 с.
Карлин С. Основы теории случайных процессов: Пер. с англ. — М.: Мир, 1971.
Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля. Метод кластерных разложений . - М : Наука, 1985
Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х книгах, 3-е изд., перераб . и доп. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
Коваленко И.Н., Гнеденко Б.В. Теория вероятностей - Киев: Высшая школа , 1990.
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
Гантмахер , Ф.Р. Теория матриц, 5-е изд. М.: Физматлит , 2004.
Манита А.Д. Коллективное поведение в многомерных вероятностных моделях cинхронизации . Обозрение прикладной и промышленной математики, том 14, № 6, с. 1001-1021 (2007)
Синай Я.Г. Теория фазовых переходов: Строгие результаты. Москва: Издательство «Наука», 1980
Дополнительная информация
Заинтересованным студентам, аспирантам, магистрантам предлагается безотлагательно сделать следующее
- записаться на сайте scs
- написать мне письмо: МАНИТА Анатолий Дмитриевич (anatoly. manita @ math. msu. ru)
День недели
по согласованию
Время
по согласованию
Аудитория
Ещё не назначена
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Дополнительные главы дискретной теории вероятностей
Название спецкурса на английском языке
Advanced topics in discrete probability
Пререквизиты
Хорошее владение математическим анализом, линейной алгеброй и теорией вероятностей в рамках базовых учебных курсов, читаемых на механико-математическом факультете
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
аспиранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Осень
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Марковские процессы с дискретным множеством состояний.
Эргодическая теорема. Проблема неэргодичного поведения цепей Маркова.
Вероятностные задачи, связанные с компьютерным моделированием стохастических систем.
Эргодическая теорема. Проблема неэргодичного поведения цепей Маркова.
Вероятностные задачи, связанные с компьютерным моделированием стохастических систем.
Список источников
[1] А. Н. Колмогоров. “О работах Б. В. Гнеденко по теории вероятностей”. В: Теория вероятн. и ее примен. 7.3 (1962), с. 313—319.
[2] Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирнов. “О работах А. Н. Колмогорова по теории вероятностей”. В: Теория вероятн. и ее примен. 8.2 (1963), с. 167—174.
[3] В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 томах. Мир, 1984.
[4] Asmussen S., Glynn, P. W. Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis (2010)
[5] P. Br´emaud. Markov chains: Gibbs fields, Monte Carlo simulation, and queues; 1st ed. Springer, 2001.
[6] А.Н. Ширяев. Вероятность - 1. –: МЦНМО, 2004. Вероятность - 2. –: МЦНМО, 2007.
[7] Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. –: М.: Едиториал УРСС, 2005.
[8] А.Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. –: Фазис, 1998.
[9] E. Seneta. Non-negative matrices and Markov chains. Springer, 2006.
[10] Булинский, А. В. , Ширяев А. Н. Теория случайных процессов . — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005
[11] Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами ... М.: МГУ, 1980.
[12] С. Карлин. Основы теории случайных процессов. –: М.: Мир, 1971.
[2] Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирнов. “О работах А. Н. Колмогорова по теории вероятностей”. В: Теория вероятн. и ее примен. 8.2 (1963), с. 167—174.
[3] В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 томах. Мир, 1984.
[4] Asmussen S., Glynn, P. W. Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis (2010)
[5] P. Br´emaud. Markov chains: Gibbs fields, Monte Carlo simulation, and queues; 1st ed. Springer, 2001.
[6] А.Н. Ширяев. Вероятность - 1. –: МЦНМО, 2004. Вероятность - 2. –: МЦНМО, 2007.
[7] Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. –: М.: Едиториал УРСС, 2005.
[8] А.Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. –: Фазис, 1998.
[9] E. Seneta. Non-negative matrices and Markov chains. Springer, 2006.
[10] Булинский, А. В. , Ширяев А. Н. Теория случайных процессов . — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005
[11] Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами ... М.: МГУ, 1980.
[12] С. Карлин. Основы теории случайных процессов. –: М.: Мир, 1971.
Дополнительная информация
Является первой частью годового цикла доп. глав теории вероятностей.
Изложение первой части адаптировано к восприятию студентами 3 курса. Оно сконцентрировано на вопросах, относящихся к дискретным моделям, и не требует уверенного владения понятиями условного математического ожидания, гауссовских процессов и т.п.
anatoly . manita @ math.msu .ru
День недели
вторник
Время
12:30-14:05
Аудитория
1608
Дата первого занятия
Аудитория первого занятия
1608
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.
Теория риска и стохастическая финансовая математика
Название спецкурса на английском языке
Risk theory and stochastic financial mathematics
Пререквизиты
Отсутствуют
Целевая аудитория
3-6 курс, магистранты
Подразделение
[Кафедра теории вероятностей]
Семестр
Весна
Тип спецкурса
Спецкурс по выбору кафедры
Учебный год
2026/27
Список тем
Финансовые рынки и портфели ценных бумаг. Самофинансируемые портфели и их свойства.
Безарбитражные рынки и мартингальные меры. Первая фундаментальная теорема теории арбитража. Безарбитражность в слабом и сильном смыслах.
Полные рынки. Вторая фундаментальная теорема теории арбитража. Необходимое условие безарбитражности и полноты в терминах фильтрации.
Верхние (нижние) хеджи и верхние (нижние) цены платежных обязательств. Безарбитражные и полные рынки. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Расчеты справедливой цены и совершенных хеджей для модели Кокса-Росса-Рубинштейна.
Справедливые цены и совершенные хеджи с предсказуемыми и непредсказуемыми добавками.
Динамическое платежное обязательство и его верхняя цена. Теорема о наименьшем супермартингале, хеджирующем дисконтированное динамическое платежное обязательство.
Элементы теории оптимальных моментов остановки. Теорема о справедливой цене и хеджировании динамических платежных обязательств и ее следствия.
Анализ безарбитражных неполных рынков.
Безарбитражные рынки и мартингальные меры. Первая фундаментальная теорема теории арбитража. Безарбитражность в слабом и сильном смыслах.
Полные рынки. Вторая фундаментальная теорема теории арбитража. Необходимое условие безарбитражности и полноты в терминах фильтрации.
Верхние (нижние) хеджи и верхние (нижние) цены платежных обязательств. Безарбитражные и полные рынки. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Расчеты справедливой цены и совершенных хеджей для модели Кокса-Росса-Рубинштейна.
Справедливые цены и совершенные хеджи с предсказуемыми и непредсказуемыми добавками.
Динамическое платежное обязательство и его верхняя цена. Теорема о наименьшем супермартингале, хеджирующем дисконтированное динамическое платежное обязательство.
Элементы теории оптимальных моментов остановки. Теорема о справедливой цене и хеджировании динамических платежных обязательств и ее следствия.
Анализ безарбитражных неполных рынков.
Список источников
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1: Факты, модели. М: ФАЗИС, 1998.
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2: Теория. М: ФАЗИС, 1998.
Foellmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. Berlin: Walter de Gruyter, 2016.
Shreve S.E. Stochastic calculus fot finance I. New York: Springer-Verlag, 2004.
Delbaen F., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2: Теория. М: ФАЗИС, 1998.
Foellmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. Berlin: Walter de Gruyter, 2016.
Shreve S.E. Stochastic calculus fot finance I. New York: Springer-Verlag, 2004.
Delbaen F., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.
Дополнительная информация
Основа курса содержится в двухтомнике А.Н. Ширяева "Основы стохастической финансовой математики".
День недели
пятница
Время
16:45-18:20
Аудитория
Ещё не назначена
Аудитория первого занятия
Ещё не назначена
Статус курса
Запись открыта
Форма записи на курс
Заполнение формы записи на курс доступно только студентам. Для записи на курс авторизуйтесь, пожалуйста, в студенческом аккаунте.