[Кафедра теории вероятностей]

Пуассоновский процесс. Процессы Кокса.
Пространственный пуассоновский случайный процесс. Функционал Лапласа. Теорема о характеризации пространственного пуассоновского процесса с помощью функционала Лапласа.
Маркированный пуассоновский процесс как пространственный процесс. Применения в теории массового обслуживания.
Энергия и потенциал. Канонический потенциал. Формула Мебиуса. Существование канонического потенциала. Гиббсовские случайные поля, заданные на конечном графе и принимающие конечное число значений. Клики и потенциал ближайших соседей.
Марковские случайные поля, заданные на конечном графе и принимающие конечное число значений. Теорема Аверинцева – Клиффорда – Хаммерсли (об эквивалентности описания гиббсовских и марковских случайных полей на конечном графе).
Виды зависимости систем случайных величин. Статистический анализ независимости и условной независимости
случайных векторов.
Некоторые модели теории риска. Обобщение модели Крамера - Лундберга.
Информационные методы выбора переменных, влияющих на изучаемый случайный отклик.

Предсказуемые, предвещаемыe и достижимые моменты.
Исчерпание графиками марковских моментов скачков согласованного процесса, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева.
Критерий предсказуемости согласованного процесса с регулярными траекториями.
Тотально недостижимые и достижимые моменты остановки.
Oпциональнaя и предсказуемaя проекции.

Фильтрации, непрерывнocть справа.
Mарковские моменты, марковские моменты в широком смысле, σ-алгебры в Ω, связанные с марковскими моментами.
Связь структурных операций над марковскими моментами и структурных операций над σ-алгебрами.
Прогрессивно-измеримые, опциональные и предсказуемые процессы.
Прогрессивнaя измеримocть непрерывныx справа (или слева) согласованныx процессoв.
Стохастичеcкие интервалы, тонкие множества.
Сравнение классов опциональных и предсказуемыx процессов.

Фильтрации, непрерывнocть справа.
Mарковские моменты, марковские моменты в широком смысле, σ-алгебры в Ω, связанные с марковскими моментами.
Связь структурных операций над марковскими моментами и структурных операций над σ-алгебрами.
Прогрессивно-измеримые, опциональные и предсказуемые процессы.
Прогрессивнaя измеримocть непрерывныx справа (или слева) согласованныx процессoв.
Стохастичеcкие интервалы, тонкие множества.
Сравнение классов опциональных и предсказуемыx процессов.

Разложение Винера-Ито по хаосам различных порядков.
Интеграл А.В. Скорохода как расширение интеграла Ито.
Производная Маллявэна. Дифференцирование.
Формула Кларка-Окона и её обобщения.

Разложение Винера-Ито по хаосам различных порядков.
Интеграл А.В. Скорохода как расширение интеграла Ито.
Производная Маллявэна. Дифференцирование.
Формула Кларка-Окона и её обобщения.

Стохастический базис и случайные процессы с непрерывным временем. Расширение фильтрации, приводящее к обычным условиям. Неразличимые случайные процессы.
Моменты остановки и их свойства (непрерывное время). σ-алгебры событий, предшествующих моменту остановки.
Измеримая, прогрессивно измеримая, опциональная σ-алгебры: определения и основные свойства.
Теорема об измеримости дебюта прогрессивно измеримого множества (без доказательства). Частные случаи теоремы (с доказательствами).
Предсказуемая σ-алгебра и порождающие ее системы множеств и процессов.
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы с непрерывным временем: определения и примеры (выпуклые преобразования, процесс обобщенной плотности).
Процессы с независимыми приращениями: два определения и их взаимосвязь.
Теорема о существовании непрерывной справа модификации супермартингала.
Основные теоремы теории мартингалов с непрерывным временем: теорема о преобразовании свободного выбора, максимальные неравенства (вероятности выхода за уровень) и максимальные -неравенства.
Локальные мартингалы с непрерывным временем. Теорема о том, что неотрицательный локальный мартингал является супермартингалом.
Примеры неотрицательных локальных мартингалов, не являющихся мартингалами (, где равномерно распределена на , замена времени в геометрическом броуновском движении, процесс обратной величины к норме трехмерного броуновского движения, выходящего не из нуля).
Интегрируемые возрастающие процессы. Натуральность и предсказуемость.
Компенсаторы и оценки их моментов.
Процессы локально интегрируемой вариации и локальные мартингалы локально интегрируемой вариации.
Разложение Дуба-Мейера субмартингала класса (D) (без доказательства). Вывод в качестве следствия разложения Дуба-Мейера произвольного субмартингала.
Квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая характеристика.
Устойчивые подпространства квадратично интегрируемых мартингалов: определение и теорема об устойчивости ортогонального дополнения.
Примеры устойчивых подпространств квадратично интегрируемых мартингалов. Чисто разрывные квадратично интегрируемые мартингалы. Теорема об их структуре (без доказательства).
Стохастический интеграл по квадратично интегрируемым мартингалам от простых функций и его свойства.
Стохастический интеграл по квадратично интегрируемым мартингалам (общий случай) и его свойства.
Стохастический интеграл по семимартингалам и его свойства.
Винеровский и пуассоновский процессы.
Формула Ито.
Формула интегрирования по частям.
Стохастическая экспонента и ее свойства. Теорема единственности.
Стохастическая экспонента и ее свойства. Теорема существования.
Геометрическое броуновское движение как стохастическая экспонента от броуновского движения со сносом.
Стохастические дифференциальные уравнения. Теорема существования и единственности.