[Кафедра прикладной механики и управления]

Введение. Биомехатроника – наука об информационном взаимодействии биологической и мехатронной систем. Пример – пилот и динамический имитатор управляемого полета. Сенсорная система в свете теории информации. Анатомия сенсорной системы человека – вестибулярной системы
Физиология вестибулярного аппарата. Принципы, лежащие в основе любого сенсорного восприятия. Роль вестибулярного аппарата как системообразующего фактора в формировании статокинетической функции организма. Ретикулярная формация: связи и функции. Информационные процессы в вестибулярной системе. Методика эксперимента по клеточной физиологии. Изучение экспериментов типа Volt-clamp и current-clamp.
Краткое описание инерциальных механорецепторовбионавигационной системы. Функциональная схема периферического отдела вестибулярного анализатора. Модифицированные уравнения Ходжкина-Хаксли для клеток ВА (для волосковой клетки, клеток первичного нейрона). Методика идентификации параметров системы. Математическая модель первичного афферентного нейрона вестибулярного механорецептора – негрубой (non-rough) системы по классификации Андронова-Понтрягина
Модель вестибулярной функции. Афферентные и эфферентные пути. Функциональные параметры системы. Задачи упрощения системы для эффективной реализации. Упрощенные математические модели информационных процессов в инерциальных механорецепторах вестибулярного аппарата.
Характеристики афферентных сигналов от вестибулярных датчиков, взаимодействие правосторонних и левосторонних механорецепторов, чувствительность, адаптация
Краткое описание динамических имитаторов для тренировок пилотов и робастная устойчивость при наличии постояннодействующих воздействий
Кинематическое управление динамической системой
Динамическая имитация траекторной перегрузки на стенде типа центрифуги с кардановым подвесом и на стенде опорного типа – платформе Стюарта.
Пространственная дезориентация пилота и ее имитация. Часть 1. Вестибуло-сенсорный конфликт в орбитальном полете и его имитация на центрифуге с кардановым подвесом
Безусловный вестибуло-окулярный рефлекс и его гальваническая имитация при наличии визуальной имитации и отсутствии динамической имитации
Антагонистические игры и гарантированное максиминное тестирование качества условного рефлекса полуавтоматической стабилизации программного полета на динамическом тренажере
Алгоритм формирования позиционных стратегий в задаче тестирования качества управления в экстремальных ситуациях
Уравнения Ходжкина – Хаксли для нейрона (аксона беспозвоночных). Уравнения Колмогорова для марковских процессов с дискретным состоянием. Переход от эмпирических уравнений к уравнениям теории вероятности
Синтез биомехатронных систем на базе МЭМС: автоматический корректор стабилизации взора в орбитальном полете

Нутационная теория гироскопа.
Первые интегралы в задаче о движении свободного гироскопа.
Вывод формулы Магнуса методом последовательных приближений.
Система гироскопической стабилизации углового положения объекта.
Одноосный гироскопический стабилизатор, гироскопическая рама.
Теорема Ишлинского о накоплении телесного угла.
Теория пространственного гирокомпаса.
Динамически настраиваемый гироскоп. Уравнения движения.
Вибрационный МЭМС гироскоп. Решение уравнений при постоянной угловой скорости основания.
Элементы теории инерциальной навигации.
Построение функции Ляпунова для задачи о движении волчка.
Построение функции Ляпунова для задачи о сложении колец гироскопа

Система в вариациях для периодического решения автономной системы. Связь его мультипликаторов Флоке с мультипликаторами соответствующего отображения Пуанкаре
Устойчивость периодического решения автономной системы. Теорема Андронова-Витта. Орбитальная устойчивость. Признак Пуанкаре устойчивости предельного цикла на фазовой плоскости
Влияние позиционных, диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия механических систем. Стабилизация положений равновесия волчка. Задача о неустойчивости поперечных колебаний железнодорожной колесной пары
Фракционный анализ. Математические методы разделения движений. Регулярные и сингулярные возмущения. Асимптотические и сходящиеся ряды. Примеры
Разложение Пуанкаре для систем с малым параметром в правой части и его особенности за пределами конечного интервала времени
Моделирование неизохронности нелинейных колебаний тела в пружинном подвесе. Секулярные члены.
Разделение движений в системах с малым параметром при производных. Теорема Тихонова-Васильевой и условия применимости ее результатов на временной полупрямой. Структура области влияния в скалярном случае
Хаотические колебания вблизи петли сепаратрисы седловой точки. Критерий Пуанкаре-Мельникова. Хаотические переходы в бистабильных системах на плоскости
Исследование корректности модели абсолютно твердого тела
Модель релаксационных колебаний осциллятора с нелинейным трением
Системы с разрывными правыми частями. Построение уравнений скользящего режима при помощи методов теории сингулярных возмущений. Релейное управление угловым движением космического аппарата. ПарадоксыПэнлеве.
Усреднение в системах с одной быстрой фазой. Условия близости решений на временной полупрямой. Теоремы о существовании и устойчивости периодического режима. Модель динамики маятника Капицы. Автоколебания осциллятора с нелинейным трением, близкие к гармоническим
Системы с несколькими быстрыми фазами. Усреднение по траекториям порождающей системы. Резонанс. Пример Арнольда. Усреднение нерезонансных систем
Усреднение в резонансном случае для систем с постоянными и переменными частотами. Теорема Арнольда-Нейштадта об усреднении двухчастотных систем, не застревающих на резонансе, и ее распространение на системы с произвольным числом частот. Усреднение систем, застревающих на резонансе
Главный параметрический резонанс для уравнения Матье. Приближение для границ первой зоны неустойчивости на диаграмме Айнса-Стретта.Вынужденные колебания в системах с «мягкой» и «жесткой» характеристиками восстанавливающей силы. Резонансы в системах с квадратичным и кулоновым трением

Динамические системы и условие их консервативности. Фазовое пространство автономных систем. Структура фазовой плоскости систем второго порядка. Динамика совместного существования видов. Метод фазовой плоскости в задаче «хищник – жертва».
Бифуркации положений равновесия консервативных систем на фазовой плоскости. Задача о маятнике на вращающемся основании
Предельные циклы. Критерий Бендиксона-Дюлакаотсутствия замкнутых траекторий. Теория индексов Пуанкаре и законы совместного существования положений равновесия и замкнутых траекторий на фазовой плоскости
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Поведение траекторий автономной системы вблизи периодических траекторий. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости и неустойчивости периодической траектории автономной системы
Грубые системы. Теорема Андронова-Понтрягина. Бифуркации предельных циклов на фазовой плоскости
Структура решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Системы с постоянными коэффициентами и устойчивость по первому приближению
Фундаментальная система решений уравнения свободных колебаний линейного осциллятора. Наискорейшее затухание колебаний. «Период» и логарифмический декремент затухающих колебаний. Свободные колебания осциллятора с сухим (кулоновым) трением.
Вынужденные колебания линейного осциллятора. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики
Матричная форма уравнений консервативных систем. Теория малых колебаний
Уравнения Лагранжа с множителями для систем с голономными стационарными связями. Малые колебания консервативной системы со связью и способ отыскания ее частот при известных частотах свободной системы. Изменение частот консервативной системы при наложении связей
Экстремальные свойства собственных частот консервативных систем. Теорема Фишера-Куранта. Изменение частот при изменении жесткости и инерционности системы. Теорема Релея. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных малых колебаний
Влияние периодических сил на малые колебания консервативной системы. Принцип взаимности. Динамический гаситель колебаний, задачи виброзащиты и виброизоляции. Резонанс при вынужденных колебаниях. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных и вынужденных малых колебаний
Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке. Мультипликаторы Флоке и их свойства
Приводимость линейных систем с периодическими коэффициентами. Характеристические показатели. Теорема об устойчивости тривиального решения
Параметрические колебания. Уравнение Матье. Диаграмма Айнса-Стретта. Влияние вертикальной вибрации точки подвеса на устойчивость положений равновесия маятника. Моделирование начального этапа раскачивания качелей

Линейная стационарная система. Условия теоремы существования и единственности решения. Решение однородного уравнения. Матрицант, его свойства. Теорема Гамильтона-Кэли.
Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Функция Ляпунова. Управляемая линейная стационарная система. Понятие полной управляемости. Критерий полной управляемости
Пучок (воронка) фазовых траекторий. Допустимое управление. Понятие области достижимости для конечного и бесконечного времени. Некоторые свойства множества достижимости
Построение областей достижимости для управления с ограниченной энергией
Опорная гиперплоскость. Задача Булгакова
Аппроксимация границы области достижимости гиперплоскостями
Внешняя и внутренняя аппроксимации на конечном времени
Инвариантное множество как внешняя аппроксимация области достижимости
Построение инвариантного эллипсоида с помощью матричных неравенств
Построение внутренней аппроксимации вполне управляемой системы с помощью матричных неравенств
Точная граница области достижимости для абсолютно устойчивой системы второго порядка
Оценка множества достижимости путем декомпозиции исходной системы на управляемые подсистемы
Угловые точки границы области достижимости

Модифицированные уравнения Эйлера.
Прецессионные уравнения гироскопа в кардановом подвесе.
Карданов подвес ротора гироскопа. Кинематика карданова подвеса.
Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой.
Введение невращающейся системы координат.
Методы кинетостатики в динамике систем связанных тел.
Прецессионные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе.
Частные случаи движения гироскопа в кардановом подвесе.
Задача о гироскопе, ориентируемом на Полярную звезду.
Чувствительные элементы систем управления для определения вертикали на подвижном объекте. Гиромаятник.
Уравнения движения гиромаятника на неподвижном и подвижном основании.
Влияние вязкого и сухого трения на движение гиромаятника.
Наземный гироскопический компас.
Определение углов ориентации самолета с использованием астатического гироскопа

Постановка задачи максиминного тестирования в экстремальных ситуациях. Виды стратегий и технология тестирования. Структурная схема тестирующего стенда.
Постановка задачи тестирования точности стабилизации для программных стратегий. Редукция к геометрическим играм.
Свойства множеств достижимости для линейной системы. Формулировки экстремальных задач в терминах множеств достижимости. Пример построения множества достижимости в задаче движения материальной точки по прямой под действием ограниченной по величине силы.
Выпуклая оболочка множества в .  Ее свойства. Свойства опорной функции выпуклого множества. Опорная гиперплоскость. Теорема  о  представлении выпуклой оболочки множества. Пример построения опорной функции для эллипсоида
Сопряженные множества. Отделимость. Проекция точки на выпуклое множество. Ее свойства. Теорема  о тупом угле
Алгоритм построения множества достижимости линейной управляемой системы.
Задача Булгакова о максимальном отклонении. Алгоритм ее решения.
Проекция точки на выпуклое множество. Численный алгоритм решения задачи проектирования.
Алгоритм построения выпуклой оболочки множества достижимости для нелинейной управляемой системы. Метод Крылова-Черноусько.
Седловые точки дифференциальной игры. Их свойства. Алгоритм поиска седловой точки для программных стратегий линейной дифференциальной игры.
Позиционные стратегии в задачах управления и дифференциальных играх. Пример вычисления функции Беллмана для  управляемой системы 2-го порядка.  
Гладкий потенциал. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса. Пример решения  ур-я Беллмана-Айзекса для линейной системы 4 порядка.
Отсутствие гладкости функции Беллмана в задаче быстродействия. Пример
Существование седловой точки дифференциальной игры с выпуклым функционалом качества  в позиционных стратегиях.
Метод экстремального прицеливания Н.Н.Красовского построения позиционных стратегий.
Модификация метода «экстремального прицеливания» для регулярной дифференциальной игры. Пример многоэкстремальности опорной функции множества достижимости управляемой системы.
Аппроксимация множества достижимости эллипсоидами. Вычисление седловой точки в геометрической игре для двух эллипсоидов.

Колебания в сосредоточенных системах, волны в распределенных системах. Волновое уравнение. Параметры бегущей волны. Граничные условия
Цепочка связанных маятников. Уравнение Клейна-Гордона. Продольные колебания стержня, поперечные колебания струны
Поперечные колебания балки. Уравнение Эйлера-Бернулли. Дисперсионное соотношение
Свободные и вынужденные колебания консоли. Моды колебаний. Резонансы
Параметрический резонанс струны
Основные уравнения гидродинамики: уравнение неразрывности, уравнение Эйлера, уравнение состояния
Акустические колебания. Скорость звука
Уравнение малых гравитационных волн, граничные условия
Дисперсия гравитационных волн, приближения мелкой и глубокой воды. Групповая скорость
Уравнения Лагранжа. Трохоидальная волна
Нелинейные волны. Уравнения Буссинеска
Уравнения потенциальных волн. Уравнение Кортвега-де Фриса, солитоны
Маятник Фруда. Уравнение Релея. Усредненные уравнения и амплитуда предельного цикла. Другие примеры конечномерных автоколебательных систем
Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. Течение Пуазейля
Уравнения малых отклонений от решения Пуазейля. Переход к турбулентности. Аналогия с автоколебаниями
Эффект Бенара. Уравнения термоконвекции
Общая схема нахождения решения в виде конвективных валов. Уравнения Лоренца

Биомехатронные системы. Примеры. Модели движения биомехатронных систем
Стабилоанализатор (силовая платформа). Модель стабилометрических показаний.
Реализация биологической обратной связи при стабилометрических тестах. Задача об оптимальном наклоне
Управление по положению центра масс. Задача оценивания координат центра масс по показаниям стабилоанализатора
Удержание человеком равновесия на неустойчивом основании с использованием голеностопной стратегии. Перевёрнутый маятник на качелях seesaw
Математическая модель перемещения человека на двухколёсной транспортной тележке типа «Segway».Маятник на колесе
Тазобедренная стратегия удержания человеком равновесия на неустойчивом основании. Модель двухзвенного перевернутого маятника. Стабилизирующее управление линеаризованной моделью, обеспечивающее максимальную область притяжения при наличии ограничений управляющего момента.
Глаз как элемент биомехатронной системы. Математическая модель движения глаза в горизонтальной плоскости при наличии одного управляющего параметра – пропорционального скорости изменения момента силы, создаваемой парой мышц.
Математическая модель саккадического движения глаза в горизонтальной плоскости с учетом наличия мышц-антагонистов
Оптимальное поведение человека, раскачивающего качели. Двухуровневый алгоритм оптимального управления
Математическая модель двуногого шагающего механизма