[Кафедра общих проблем управления]

Максимизация ожидаемого дохода страхователя в модели Эрроу
Построение эффективного портфеля ценных бумаг по модели Марковица
Модель Рамсея сбалансированного роста
Оптимальное планирование поставки продукции
Оптимизация безрискового финансового портфеля
Модель ЭРРОУ и НЕРЛОФА оптимизации расходов на рекламу
Рекламная модель Видаля-Вольфа
Выбор оптимального индексного портфеля

Теорема о магистрали
Теорема о седловой точке
Метод Беллмана
Метод эллипсоидов
Теорема Куна-Таккера
Принцип двойственности в задаче квадратичного программирования
Задача оптимального управления
Задача оптимального управления с закрепленным временем необходимые условия
Достаточные условия в задаче оптимального управления с закрепленным временем и выпуклым Лагранжианом

Прямые методы решения оптимизационных задач
Дискретизация в фазовом пространстве и в пространстве управлений. Примеры
Методы безусловной оптимизации: сопряжённых градиентов и эвристические методы нулевого порядка. Примеры
Метод проекции градиента
Метод условного градиента
Метод штрафных функций
Метод линеаризации

Принцип Лагранжа
Метод Ньютона-Исаева-Сонина-Федоренко
Методы решения СЛАУ
Методы численного дифференцирования
Методы решения задач Коши для систем ОДУ
Метод декомпозиции и примеры его применения
Метод продолжения решения по параметру и примеры его применения

Теорема Маковоза, её приложение к вычислению поперечников W1∞,g в пространстве Lp,v.
Функциональные классы Wrp, пространства Lq. Теорема Арцела – Асколи (формулировка). Компактность вложения пространства Соболева на отрезке в пространство Lq. Рефлексивные пространства, слабая секвенциальная компактность.
Теорема Пинкуса – Буслаева – Тихомирова. Постановка задачи на максимум, система уравнений Эйлера. Функции с n точками перемены знака.
Сходимость итерационного процесса Буслаева. Оценка снизу для колмогоровского поперечника.
Ядро G(t,τ,ξ,η), его свойства. Оценка сверху для колмогоровского поперечника.
Доказательство строгого убывания последовательности колмогоровских поперечников при p>q.
Непустота множества SPn. Оценка снизу для бернштейновского поперечника.
Пространства Соболева Wpr на многомерной области. Теорема Соболева о непрерывном и компактном вложении. Оценка сверху приближения класса Соболева подпространством кусочно-полиномиальных функций.
Теорема Кашина – Глускина о поперечниках конечномерных множеств Bnp в пространствах lnq при p<q.
Теорема об оценке поперечников класса Соболева в пространстве Lq на кубе.
Формулировка теоремы о поперечниках классов Соболева на области с пиком.

Поперечники, характеризующие приближение множеств: колмогоровский, линейный, проекционный, александровский. Поперечники компактных множеств и свойство аппроксимации нормированного пространства. Поперечник эллипсоида в евклидовом пространстве. Гельфандовский поперечник.
Колмогоровский поперечник класса липшицевых функций в пространстве Lp: оценка сверху.
Некоторые элементарные свойства поперечников: монотонность, поперечники замыкания и выпуклой оболочки, полуаддитивность.
Паракомпактность метрического пространства (без доказательства). Теорема Майкла. Равенство колмогоровского поперечника и поперечника γn.
Теорема Борсука. Теорема о поперечнике шара. Бернштейновский поперечник, его связь с колмогоровским. Теорема Маковоза и оценка снизу колмогоровского поперечника класса липшицевых функций в пространстве Lp.
Теорема Брауэра о неподвижной точке, теорема об ε-сдвиге. Мультипликативность поперечников. Точные значения александровских поперечников.
Точные значения колмогоровских, линейных и проекционных поперечников конечномерных шаров Bnp в пространствах lnq при p≥q.
Поперечники октаэдров в евклидовом пространстве.
Соотношения двойственности между колмогоровским и гельфандовским поперечниками.

Суперрефлексивные пространства. Теорема Джеймса-Энфло о перенормировке суперрефлексивного пространства
Базисы Шаудера. Теорема Банаха о норме канонического проектора. Базисная константа.
Эквивалентные базисные последовательности. Теорема Крейна-Мильмана-Рутмана.
Теорема Пелчинского и принцип выбора Бессага-Пелчинского. Дополняемые подпространства в c0 и lp.
Теорема Питта. Неизоморфность бесконечномерных подпространств lp и lq при разных p и q. Неизоморфность Lp[0, 1] и lp при конечных p, не равных 2.
Метод разложения Пелчинского. Теорема Акилова. Изоморфность l∞ и L∞[0, 1].
Стягивающие базисы.
Пример Джеймса нерефлексивного банахова пространства, изометрически изоморфного своему второму сопряженному.
Свойство аппроксимации банахова пространства и эквивалентные ему условия.
Пример сепарабельного банахова пространства без свойства аппроксимации.
p-абсолютно суммирующие операторы. Теорема Пича.
Константа Гротендика и приложения для доказательства p-абсолютной суммируемости.
Типы и котипы банаховых пространств. Неравенство Кахана. Тип и котип Lp.
Теорема Квапьена.

Теорема Джона об эллипсоиде. Теорема Дворецкого-Роджерса.
Мера Хаара, инвариантная относительно действия группы движений. Примеры: мера на евклидовой сфере, мера на группе ортогональных операторов.
Принцип концентрации меры.
Теорема Дворецкого о почти евклидовых сечениях.
Почти евклидовы сечения в lpn.
Колмогоровские и линейные поперечники. Теоремы Глускина.
Теорема Джонсона-Шехтмана о почти lpk-сечениях шара в l1n.

Теорема отделимости в полинормированном пространстве. Теорема Мазура. Теорема Банаха-Алаоглу. Теорема Голдстайна.
Компактность и секвенциальная компактность. Теорема Эберлейна-Шмульяна.
Рефлексивные банаховы пространства. «Свойство трех пространств». Теорема Джеймса о рефлексивности.
Принцип Экланда. Теорема Бишопа-Фелпса.
Субдифференциал. Критерий дифференцируемости нормы в точке по Гато (лемма Шмульяна). Теорема Кадеца о существовании эквивалентной дифференцируемой по Гато нормы. Строгая выпуклость.
Теорема о существовании эквивалентной дифференцируемой по Гато нормы на сепарабельном банаховом пространстве. Множество точек дифференцируемости по Гато у выпуклой непрерывной функции.
Критерий дифференцируемости по Фреше в точке для выпуклой непрерывной функции. Критерий дифференцируемости нормы в точке по Фреше (лемма Шмульяна). Локальная равномерная выпуклость.
Критерий существования эквивалентной дифференцируемой по Фреше нормы на сепарабельном банаховом пространстве.
Бамп-функции. Пространства Асплунда. Теорема Мазура-Фелпса.
Крайние, выступающие и сильно выступающие точки. Теоремы Крейна-Мильмана и Линденштраусса-Троянского.
Острые множества. Пространства со свойством Радона-Никодима.
Свойство Бишопа-Фелпса. Теорема Бургейна об эквивалентности свойства Бишопа-Фелпса и Радона-Никодима.
Равномерно выпуклые и равномерно гладкие пространства, соотношение двойственности между ними.
Оценка модуля выпуклости пространств Lp.
Теорема Дэя-Нордлендера.
Конечная представимость. Теорема об эквивалентной норме пространства, грубо конечно представимого в равномерно выпуклом, равномерно гладком и гильбертовом.
Теорема Линденштраусса-Цафрири.
Теорема Банаха-Мазура о вложении себарабельного банахова пространства в пространство непрерывных функций на отрезке. Неравенства Хинчина. Вложение l2 в Lp[0, 1].