[Кафедра общей топологии и геометрии]

Теорема Бэра о категории и ее роль в математике.
Пространство непрерывных функций из [0;1] в R. Типичная функция нигде не дифференцируема. Примеры.
Канторово множество. Примеры канторовых множеств с многомерными проекциями. Ручные и дикие канторовы множества. Теорема Борсука. Вопросы Кобба о канторовых множествах. Частичные ответы на них. Открытые вопросы.
Пример Борсука: узел в R^3, проекции которого на все плоскости двумерны. Примеры диких узлов. Пространство узлов в R^3. Теорема Милнора: типичный узел в R^3 является диким (идея доказательства). Теорема Боте: типичный узел в R^3 является диким в каждой своей точке (формулировка). Пример Бинга: узел, дикий в каждой точке.
Метрика Хаусдорфа. Пространство непустых компактных подмножеств R^N. Типичный непустой компакт в R^N гомеоморфен канторову множеству.
Пространство канторовых множеств в R^N. Типичное канторово множество в R^N является ручным.
Континуумы. Пространство континуумов в R^N. Пример неразложимого плоского континуума. Типичный континуум в R^N наследственно неразложим.
Псевдодуга. Ее свойства. Типичный континуум в R^N является псевдодугой.
Кривая Серпинского. Свойство универсальности. Характеризация континуумов, являющихся непрерывным образом отрезка. Образ отрезка под действием типичного непрерывного отображения в плоскость гомеоморфен
универсальной кривой Серпинского.

Определение и свойства сепарабельных метрических пространств
основные свойства малой индуктивной размерности ind
связь с большой индуктивной размерностью ind и с размерностью dim

Универсальная алгебра (множество с операциями). Гомоморфизмы и изоморфизмы
универсальных алгебр, факторалгебры, подалгебры. Тождества. Многообразия алгебр, теорема Биркгофа. Свободные алгебры в данном многообразии.
Топологические алгебры. Многообразия топологических алгебр, свободные топологические алгебры.
Операция Мальцева. Теорема Мальцева: в многообразии алгебр все конгруэнции перестановочны тогда и только тогда, когда из операций этого многообразия можно составить операцию Мальцева. Аксиомы отделимости в топологических алгебрах с операцией Мальцева, а также в топологических алгебрах, удовлетворяющих некоторым другим алгебраическим условиям.
Абелевость фундаментальной группы линейно связной топологической алгебры, имеющей бинарную операцию с нейтральным элементом.
Теорема Мальцева–Тэйлора: в многообразии топологических алгебр все факторные гомоморфизмы открыты тогда и только тогда, когда из операций этого многообразия можно составить операцию Мальцева. Проблема о непрерывности операций на образах топологических алгебр при факторных гомоморфизмах. Свойства топологического пространства, гарантирующие существование непрерывной операции Мальцева на этом пространстве.
Топологические группы, их основные свойства. Проблема существования недискретной групповой топологии на бесконечной группе. Группы Ли, теорема Глисона–Ямабе–Монтгомери–Циппина (топологическая группа является группой Ли тогда и только тогда, когда она локальна компактна и в ней существует окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп). Теорема: всякое компактное топологическое пространство, допускающее непрерывную операцию Мальцева (в частности, топологическая алгебра с операцией Мальцева), является ретрактом топологической группы.
Квазитопологические алгебры (универсальные алгебры с раздельно непрерывными операциями). Свободные квазитопологические алгебры. Отделимость квазитопологических алгебр. Теорема: образ квазитопологической алгебре при факторном гомоморфизме является квазитопологической алгеброй, т.е. операции на образе раздельно непрерывны.
Топологические и квазитопологические магмы, квазигруппы, лупы и полугруппы. Теорема Эллиса–Нумакуры: в любой полугруппе с хаусдорфовой компактной топологией, относительно которой умножение непрерывно хотя бы по одному аргументу, есть идемпотент и минимальные левые идеалы.
Полугруппа ультрафильтров. Применения теоремы о существовании идемпотента и минимальных левых идеалов в полугруппе ультрафильтров в комбинаторике, динамике и топологии.

Топологическая группа, групповая топология. Основные свойства топологических групп. Группы Ли.
Топологизируемость групп. Примеры нетопологизируемых групп.
Простейшие критерии того, что топология на группе является групповой. Критерий того, что семейство подмножеств группы является базой окрестностей единицы в некоторой групповой топологии. Свойства базы окрестностей единицы.
Произведения открытых, замкнутых и связных подмножеств топологической группы. Замкнутость произведения замкнутого и компактного подмножеств.
Подгруппы топологических групп, их простейшие свойства.
Теорема: связная компонента единицы — замкнутая нормальная подгруппа. Теорема ван Данцига.
Тихоновское произведение топологических групп. Прямая сумма топологических групп.
Теорема: гомоморфизм топологических групп, являющийся факторным отображением, открыт. Топологическая факторгруппа топологической группы. Факторгруппа по компоненте связности.
Свободная топологическая группа, её существование.
Структура и основные топологические свойства свободных топологических групп.
Теорема: всякая σ-компактная топологическая группа обладает свойством Суслина.
Обобщения топологических групп. Топологические и полутопологические группы и полугруппы.
Теорема Эллиса о том, что всякая локально компактная полутопологическая группа является топологической группой.
Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента.

Топологическая группа, групповая топология. Основные свойства топологических групп. Группы Ли.
Топологизируемость групп. Примеры нетопологизируемых групп.
Простейшие критерии того, что топология на группе является групповой. Критерий того, что семейство подмножеств группы является базой окрестностей единицы в некоторой групповой топологии. Свойства базы окрестностей единицы.
Произведения открытых, замкнутых и связных подмножеств топологической группы. Замкнутость произведения замкнутого и компактного подмножеств.
Подгруппы топологических групп, их простейшие свойства.
Теорема: связная компонента единицы — замкнутая нормальная подгруппа. Теорема ван Данцига.
Тихоновское произведение топологических групп. Прямая сумма топологических групп.
Теорема: гомоморфизм топологических групп, являющийся факторным отображением, открыт. Топологическая факторгруппа топологической группы. Факторгруппа по компоненте связности.
Свободная топологическая группа, её существование.
Структура и основные топологические свойства свободных топологических групп.
Теорема: всякая σ-компактная топологическая группа обладает свойством Суслина.
Обобщения топологических групп. Топологические и полутопологические группы и полугруппы.
Теорема Эллиса о том, что всякая локально компактная полутопологическая группа является топологической группой.
Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента.

Формальная теория гильбертова типа. Язык логики первого порядка. Логические аксиомы, правила вывода. Понятие доказательства.
Аксиомы теории множеств ZFC. Классы.
Упорядоченные множества. Теорема об изоморфизме вполне упорядоченных множеств. Транзитивные множества. Ординалы и порядковые типы. Трансфинитная индукция и рекурсия. Формулировки леммы Цорна и теоремы Цермело. Примеры их применения. Кардиналы и мощности множеств. Арифметика кардиналов. Теорема Кантора. Континуум-гипотеза.
Универсум фон Неймана, ранг множества, ∈-индукция.
Модели теории множеств. Теоремы Гёделя о полноте и неполноте. Стандартные транзитивные модели. Абсолютные формулы. Абсолютность трансфинитной рекурсии. Существование счётной модели теории множеств. Парадокс Скулема.
Генерические множества, их существование для счетной модели. Имена и интерпретации. Определение генерического расширения модели ZFC как множества интерпретаций. α-Коэновское частично упорядоченное множество. Начало доказательства совместимости отрицания континуум-гипотезы с аксиомами ZFC.
Вынуждение. Основные положения форсинга: теорема об определимости и теорема об истинности. Аксиомы ZFC в генерическом расширении.
Первая теорема о сохранении кардиналов. Формулировка леммы о Δ-системе. Выполнение условия счетности цепей для α-коэновского множества. Полное доказательство совместимости отрицания континуум-гипотезы с аксиомами ZFC.
Антикоэновское частично упорядоченное множество. Теорема о сохранении функций и ее следствия. Доказательство совместимости континуум-гипотезы с аксиомами ZFC методом форсинга.

Топологические свойства пространств над произвольными компактами
Теорема Гротендика и ее обобщения
Теорема Батурова о числе Линделефа пространств функций над компактами
Свойства типа числа линделефа для пространств функций на компактах, родственных компактам Эберлейна, и свойства таких компактов
Характеристика компактов Корсона свойством пространства Cp(X)
Теорема Прейсса—Симона
Число Линделефа Cp(X) и аксиома Мартина

Метрические и метризуемые пространства.
Компакты и паракомпакты.
Паракомпактность метрических пространств.
Метризационные теоремы.
Проблема метризуемости нормального моровского пространства.
Одновременные обобщения метрических и локально компактных пространств.
Различные классы топологических пространств, содержащие класс метризуемых пространств.

Топологические пространства
Равномерные пространства
Ковариантные функторы
Борелевские меры
Функтор вероятностных мер
Знакопеременные меры

Определение метрических пространств и основные их свойства. Примеры.
Определение топологических пространств и основные их свойства. Примеры.
Классические размерности (ind, Ind, dim)
Универсальные пространства