[Кафедра МКМА]

Введение в теорию вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.
Сходимость последовательностей событий. Лемма Бореля-Кантелли.
Случайные величины, их свойства.
Примеры распределений и функций распределения.
Сходимость последовательностей случайных величин.
Теорема Чебышева. Теорема Пуассона. Предельные теоремы Муавра- Лапласа.
Вероятностные модели.
Производящие и характеристические функции. Примеры распределений и характеристических функций.
Закон больших чисел, закон повторного логафифма.
Центральная предельная теорема. Теоремы Линдеберга–Феллера и Ляпунова.
Асимптотические разложения в центральной предельной теореме.
Экспоненциальные оценки уклонений.
Асимптотические разложения в аддитивных задачах.

Аналитический подход к решению сложных задач аддитивной теории чисел.
Проблема Варинга и её обобщения.
Проблема Гильберта — Камке.
Тернарная проблема Гольдбаха (для достаточно больших чисел).

Арифметические свойства разбиений.
Производящие функции.
Разбиения и квантовая механика.

Метод искажения знаков в шифре простой замены.
Комбинированный метод искажения частот.
Анализ методов искажения знаков.
Применение китайской теоремы об остатках.
Арифметический вариант шифра Виженера.

Классическое определение вероятности, аксиоматика теории вероятностей, теорема Бореля- Кантелли.
Предельные локальная и интегральная теоремы Лапласа, теорема Пуассона, закон больших чисел (теоремы Бернулли, Чебышева, Маркова).
Центральная предельная теорема, теорема Ляпунова, теорема о повторном логарифме.
Арифметические функции, методы решета, аддитивные задачи с растущим числом слагаемых. "Нормальные’’ числа, распределение значений арифметических функций, очень короткие суммы Гаусса.
Теорема Форте-Каца, тригонометрические суммы с показательной функцией в экспоненте, динамические системы.

Общие свойства сигналов и физические механизмы их возникновения и передачи. Безусловная и условная оптимизация функций многих переменных.
Дискретизация, способы и особенности цифрового представления сигналов. Основные характеристики сигналов: амплитудно-временные, энергетические, статистические, топологические, информационные и др. Частотное и временное представление сигналов.
Спектр и корреляционная функция. Взаимный спектр и функция когерентности. Теорема Винера-Хинчина. Анализ спектров. Теорема Котельникова. Шумоподобные сигналы. Метод накопления.
Биспектральный анализ. Кепстральный анализ. Преобразование Хафа. Элементы контурного анализа.
Понятие временного ряда. Свойства временных рядов. Локальный и нелокальный анализ временных рядов. Анализ частичных сумм и локальных трендов ряда.
Статистический анализ временных рядов. Оценка статистического распределения по наблюдаемым данным. Задача о разладке. Анализ главных компонент. Топология выборки.
Многоканальная регистрация и обработка данных.
Частотно-временной анализ. Оконное преобразование Фурье. Банки фильтров. Преобразование Вигнера-Вилля.
Вейвлеты. Дискретное и непрерывное вейвлет-преобразование. Кратномасштабный анализ. Выбор базиса. Алгоритмы построения вейвлетов.
Анализ скалограмм и вейвлет-коэффициентов. Вейвлет-методы выделения сигналов на фоне шумов и помех. Алгоритмы Донохо-Джонстона. Аппаратно-ориентированные вейвлеты. Адаптивные вейвлеты.
Понятие искусственного нейрона и искусственной нейронной сети. Архитектуры искусственных нейронных сетей. Перцептрон Розенблатта. Алгоритм обратного распространения ошибок. Многослойные сети и сети с обходными связями (сети Уорда). Рекуррентные сети. Самоорганизующиеся карты Кохонена. Сети Хопфилда. Когнитрон и неокогнитрон. Глубокие свёрточные нейронные сети.

Проблема Варинга
Проблема Харди-Литтлвуда
Метод решета
Методы аналитической теории чисел