[Кафедра механики композитов]

Элементы дифференциальной геометрии, тензорной алгебры и тензорного анализа, необходимые для построения моделей в механике.
Кинематика подвижного континуума. Подходы Лагранжа и Эйлера. Описание конечных и малых деформаций соответствующими тензорами. Формулы Чезаро. Тензор несовместности. Уравнения Сен-Венана.
Механические напряжения. Формула Коши. Три закона МДТТ и соответствующие уравнения: закон сохранения массы и уравнение неразрывности; закон изменения количества движения и уравнение движения сплошной среды; закон изменения момента количества в форме закона парности касательных напряжений. Площадки максимальных касательных напряжений. Круги Мора.
Тензор Пиолы и его несимметричность. Теорема живых сил в актуальной конфигурации (тензор Коши) и в отсчетной конфигурации (тензор Пиолы).
Изотермическая модель линейно-упругого материала. Обобщенный закон Гука. Упругие модули и податливости. Упругий потенциал. Типы симметрии упругих модулей.
Изотропный материал. Модули Ламе. Закон Гука и обратный закон Гука для изотропного материала. Технические константы: модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Уравнения движения Ламе. Уравнения Бельтрами-Митчелла.
Постановка общей краевой статической задачи математической теории упругости. Ослабление граничных условий: принцип Ceн-Beнана. Теорема единственности решения краевой статической задачи. Полуобратный метод Сен-Венана. Формулы Чезаро для простейших задач математической теории упругости. Простейшие задачи: всестороннее равномерное сжатие односвязной области; чистый сдвиг упругого слоя; осевое растяжение призматического стержня; растяжение стержня под действием собственного веса; кручение круглого призматического бруса; чистый изгиб призматической прямой балки.
Задача Ламе о деформировании упругой толстостенной упругой трубы под действием внутреннего и внешнего давлений.

Основные послулаты механики.
Вывод уравнений движения микрополярной теории упругости.
Построение вариационного уравнения.
Свободная энергия Гельмольца.
Принцип Лагранжа.
Метод Ритца и Бубнова-Галеркина.
Приведение краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений для материалов произвольной анизотропии.
Построение матрицы жёсткости для изотропного материала с учётом обобщенного принципа Дюгамеля-Неймана.
Численные решения некоторых краевых задач.

Параметризации области тонкого тела
К параметризации области тонкого тела с одним малым размером при произвольной базовой поверхности
Векторное уравнение области тонкого тела
Двумерные семейства реперов (базисов)
Трехмерные семейства реперов (базисов)
Представление единичного тензора второго ранга
Представления компонент переноса и компонент ЕТВР
в виде степенных рядов относительно x3
Представления некоторых дифференциальных операторов, уравнений движения и
притока тепла и определяющих соотношений микрополярной теории
Представления градиента и дивергенции
Представления повторного градиента и лапласиана
Представления уравнений движения в микрополярной МДТТТ
Представление уравнения притока тепла в микрополярной МДТТТ
Представления законов Гука и теплопроводности Фурье
Рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва. Моменты некоторых выражений. Различные представления системы уравнений движения и определяющих соотношений в моментах. Постановки начально-краевых задач
Некоторые рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва
на сегменте [-1, 1]
Основные рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва
на сегменте [-1, 1]
Дополнительные рекуррентные соотношения для систем полиномов Лежандра и Чебышёва на сегменте [-1, 1]
Моменты некоторых выражений относительно полиномов Лежандра и Чебышёва первого и второго рода
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Лежандра
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Чебышёва
второго рода
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Чебышёва
первого рода
Представления уравнений движения в моментах
Представления уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра
Представления уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Чебышёва второго рода
Представления определяющих соотношений в моментах
Граничные и начальные условия в микрополярной МДТТТ
Граничные условия на лицевых поверхностях
Граничные условия в моментах в теории тонких тел
Кинематические граничные условия в моментах
Физические граничные условия в моментах
Граничные условия теплового содержания в моментах
Граничные условия первого рода в моментах
Граничные условия второго рода в моментах
Граничные условия третьего рода в моментах
Начальные условия в моментах
Постановки задач в моментах микрополярной термоупругости тонких тел
Постановка связанной динамической задачи в моментах приближения (r, N) микрополярной ТУТТ
Постановка нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r, N)
Постановка несвязанной динамической задачи в моментах приближения (r, N) микрополярной ТУТТ
Решение некоторых краевых задач

Введение в композиты. Основные типы определяющих соотношений. (Определение композита, условия идеального контакта, условия скользящего контакта, условия контакта с натягом, эффективные свойства, ячейка периодичности, классификация композитов с точки зрения математических трудностей, задача статики, основные типы определяющих соотношений, случай наличия линии анизотропии, случай полной анизотропии, параметры Ламэ).
Линейные вязко-упругие материалы. Эффективные характеристики неоднородных материалов. (Определение эффективных определяющих соотношений, первая специальная краевая задача, вторая специальная краевая задача, эффективные модули упругости неоднородного упругого тела, первая специальная краевая задача для упругого композиционного материала, перемещение в неоднородном теле, структурные функции, доказательство симметрии, доказательство удовлетворения эффективных характеристик условию положительной определенности).
Решение первой специальной краевой задачи. (Уравнение для структурных функций, случай стержня, неоднородного в поперечном сечении, случай слоистого композита, эффективные модули упругости неоднородного по толщине бесконечного в плане слоя, тензор, обратный тензору податливости, случай изотропного материала).
Вторая специальная краевая задача. Эффективные податливости. (Постановка второй специальной краевой задачи в перемещениях и напряжениях, выражения для деформаций, уравнения L-функций для единственности, эффективные податливости неоднородного по толщине бесконечного слоя).
Вилки эффективных характеристик. (Случай периодически неоднородный, случай, когда каждый слой является однородным изотропным материалом, вилки эффективных характеристик).
Вилка Фойхта-Рейсса. Вилка Хашина-Штрикмана. Вариационный принцип Хашина-Штрикмана. (Точный случай и приближенное значение, вилка Фойхта-Рейсса, вилка Хашина-Штрикмана, вариационный принцип Хашина-Штрикмана).
Вилки эффективных свойств. (Вилка эффективных свойств, вилка для случая композита, состоящего из двух изотропных фаз, доказательство (точка экстремума), появление минимума или максимума).
Функционал Хашина-Штрикмана. (Вариационный принцип Хашина-Штрикмана, доказательство стационарности первой вариации функционала Хашина-Штрикмана, доказательство о максимуме и минимуме функционала Хашина-Штрикмана).
Задача Эшелби. (Тензор Эшелби, стесненные напряжения, тензор Кельвина, формула для стесненных перемещений, случай эллипсоида, сферическая область трансформации, случай цилиндра, случай слоя).
Метод осреднения обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. (Масштабирование, одномерная задача).
Обыкновенные дифференциальные уравнения и метод осреднения Бахвалова-Победри. (Решение структурных уравнений, определение констант, смешанная краевая задача, структурные функции).
Метод, не требующий безразмерных координат (одномерная задача). (Функция Хевисайда, формула для решения исходного уравнения, уравнение для фундаментальной функции, общее решение исходного уравнения, коэффициенты сопутствующего уравнения).
Решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка в общем виде. (Уравнение Лежандра, получение аналитического решения, частный случай, уравнение Чебышева).
Дифференциальные уравнения в частных производных. (Уравнение колебания стержня с действующей на него нагрузкой, уравнение для структурной функции).

Параметризации области тонкого тела
К параметризации области тонкого тела с одним малым размером при произвольной базовой поверхности
Векторное уравнение области тонкого тела
Двумерные семейства реперов (базисов)
Трехмерные семейства реперов (базисов)
Представление единичного тензора второго ранга
Представления компонент переноса и компонент ЕТВР
в виде степенных рядов относительно x3
Представления некоторых дифференциальных операторов, уравнений движения и
притока тепла и определяющих соотношений микрополярной теории
Представления градиента и дивергенции
Представления повторного градиента и лапласиана
Представления уравнений движения в микрополярной МДТТТ
Представление уравнения притока тепла в микрополярной МДТТТ
Представления законов Гука и теплопроводности Фурье
Рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва. Моменты некоторых выражений. Различные представления системы уравнений движения и определяющих соотношений в моментах. Постановки начально-краевых задач
Некоторые рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва
на сегменте [-1, 1]
Основные рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва
на сегменте [-1, 1]
Дополнительные рекуррентные соотношения для систем полиномов Лежандра и Чебышёва на сегменте [-1, 1]
Моменты некоторых выражений относительно полиномов Лежандра и Чебышёва первого и второго рода
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Лежандра
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Чебышёва
второго рода
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Чебышёва
первого рода
Представления уравнений движения в моментах
Представления уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра
Представления уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Чебышёва второго рода
Представления определяющих соотношений в моментах
Граничные и начальные условия в микрополярной МДТТТ
Граничные условия на лицевых поверхностях
Граничные условия в моментах в теории тонких тел
Кинематические граничные условия в моментах
Физические граничные условия в моментах
Граничные условия теплового содержания в моментах
Граничные условия первого рода в моментах
Граничные условия второго рода в моментах
Граничные условия третьего рода в моментах
Начальные условия в моментах
Постановки задач в моментах микрополярной термоупругости тонких тел
Постановка связанной динамической задачи в моментах приближения (r, N) микрополярной ТУТТ
Постановка нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r, N)
Постановка несвязанной динамической задачи в моментах приближения (r, N) микрополярной ТУТТ
Решение некоторых краевых задач