[Кафедра механики композитов]

Введение в композиты. Основные типы определяющих соотношений. (Определение композита, условия идеального контакта, условия скользящего контакта, условия контакта с натягом, эффективные свойства, ячейка периодичности, классификация композитов с точки зрения математических трудностей, задача статики, основные типы определяющих соотношений, случай наличия линии анизотропии, случай полной анизотропии, параметры Ламэ).
Линейные вязко-упругие материалы. Эффективные характеристики неоднородных материалов. (Определение эффективных определяющих соотношений, первая специальная краевая задача, вторая специальная краевая задача, эффективные модули упругости неоднородного упругого тела, первая специальная краевая задача для упругого композиционного материала, перемещение в неоднородном теле, структурные функции, доказательство симметрии, доказательство удовлетворения эффективных характеристик условию положительной определенности).
Решение первой специальной краевой задачи. (Уравнение для структурных функций, случай стержня, неоднородного в поперечном сечении, случай слоистого композита, эффективные модули упругости неоднородного по толщине бесконечного в плане слоя, тензор, обратный тензору податливости, случай изотропного материала).
Вторая специальная краевая задача. Эффективные податливости. (Постановка второй специальной краевой задачи в перемещениях и напряжениях, выражения для деформаций, уравнения L-функций для единственности, эффективные податливости неоднородного по толщине бесконечного слоя).
Вилки эффективных характеристик. (Случай периодически неоднородный, случай, когда каждый слой является однородным изотропным материалом, вилки эффективных характеристик).
Вилка Фойхта-Рейсса. Вилка Хашина-Штрикмана. Вариационный принцип Хашина-Штрикмана. (Точный случай и приближенное значение, вилка Фойхта-Рейсса, вилка Хашина-Штрикмана, вариационный принцип Хашина-Штрикмана).
Вилки эффективных свойств. (Вилка эффективных свойств, вилка для случая композита, состоящего из двух изотропных фаз, доказательство (точка экстремума), появление минимума или максимума).
Функционал Хашина-Штрикмана. (Вариационный принцип Хашина-Штрикмана, доказательство стационарности первой вариации функционала Хашина-Штрикмана, доказательство о максимуме и минимуме функционала Хашина-Штрикмана).
Задача Эшелби. (Тензор Эшелби, стесненные напряжения, тензор Кельвина, формула для стесненных перемещений, случай эллипсоида, сферическая область трансформации, случай цилиндра, случай слоя).
Метод осреднения обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. (Масштабирование, одномерная задача).
Обыкновенные дифференциальные уравнения и метод осреднения Бахвалова-Победри. (Решение структурных уравнений, определение констант, смешанная краевая задача, структурные функции).
Метод, не требующий безразмерных координат (одномерная задача). (Функция Хевисайда, формула для решения исходного уравнения, уравнение для фундаментальной функции, общее решение исходного уравнения, коэффициенты сопутствующего уравнения).
Решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка в общем виде. (Уравнение Лежандра, получение аналитического решения, частный случай, уравнение Чебышева).
Дифференциальные уравнения в частных производных. (Уравнение колебания стержня с действующей на него нагрузкой, уравнение для структурной функции).

Параметризации области тонкого тела
К параметризации области тонкого тела с одним малым размером при произвольной базовой поверхности
Векторное уравнение области тонкого тела
Двумерные семейства реперов (базисов)
Трехмерные семейства реперов (базисов)
Представление единичного тензора второго ранга
Представления компонент переноса и компонент ЕТВР
в виде степенных рядов относительно x3
Представления некоторых дифференциальных операторов, уравнений движения и
притока тепла и определяющих соотношений микрополярной теории
Представления градиента и дивергенции
Представления повторного градиента и лапласиана
Представления уравнений движения в микрополярной МДТТТ
Представление уравнения притока тепла в микрополярной МДТТТ
Представления законов Гука и теплопроводности Фурье
Рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва. Моменты некоторых выражений. Различные представления системы уравнений движения и определяющих соотношений в моментах. Постановки начально-краевых задач
Некоторые рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва
на сегменте [-1, 1]
Основные рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышёва
на сегменте [-1, 1]
Дополнительные рекуррентные соотношения для систем полиномов Лежандра и Чебышёва на сегменте [-1, 1]
Моменты некоторых выражений относительно полиномов Лежандра и Чебышёва первого и второго рода
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Лежандра
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Чебышёва
второго рода
Моменты некоторых выражений относительно системы полиномов Чебышёва
первого рода
Представления уравнений движения в моментах
Представления уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра
Представления уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Чебышёва второго рода
Представления определяющих соотношений в моментах
Граничные и начальные условия в микрополярной МДТТТ
Граничные условия на лицевых поверхностях
Граничные условия в моментах в теории тонких тел
Кинематические граничные условия в моментах
Физические граничные условия в моментах
Граничные условия теплового содержания в моментах
Граничные условия первого рода в моментах
Граничные условия второго рода в моментах
Граничные условия третьего рода в моментах
Начальные условия в моментах
Постановки задач в моментах микрополярной термоупругости тонких тел
Постановка связанной динамической задачи в моментах приближения (r, N) микрополярной ТУТТ
Постановка нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r, N)
Постановка несвязанной динамической задачи в моментах приближения (r, N) микрополярной ТУТТ
Решение некоторых краевых задач

Подходы Лагранжа и Эйлера к описанию кинематики деформируемого тела. Тензоры деформаций.
Тензоры механических напряжений.
Тензор модулей упругости. Случаи упругой симметрии. Модули Ламе и упругие технические константы.
Законы термодинамики. Термодинамические потенциалы. Соотношения Дюгамеля-Неймана. Закон теплопроводности Фурье. Нелинейное и линейное уравнения теплопроводности.
Вариационные принципы Лагранжа и Кастельяно. Функционал Рейснера.
Частные решения уравнений Ламе.
Первая и вторая краевые задачи для полупространства и их общие решение. Контактная задача Герца.
Материалы с реономными свойствами. Ползучесть и релаксация. Модели Фойхта, Максвелла и Кельвина.
Теория пластического течения. Условия текучести и пластический потенциал.

Новая параметризация области тонкого тела (НПОТТ) трёхмерного евклидова пространства. Различные семейства параметризаций, базисов (реперов), символов Кристоффеля и связи между ними. Представления тензоров и ковариантные производные их компонент, а также связь между компонентами и ковариантными производными от компонент тензора при НПОТТ. Единичный тензор второго ранга (ЕТВР) и его представления. Основные компоненты ЕТВР. Представления различных семейств символов Кристоффеля, компонент вторых тензоров поверхностей, средних и гауссовых кривизн поверхностей посредством основных компонент ЕТВР. Фундаментальная теорема для области тонкого тела трёхмерного пространства при ее новой параметризации.
Некоторые вопросы из теории ортогональных полиномов Лежандра. Производящая функция, основные и некоторые дополнительные рекуррентные формулы полиномов Лежандра на сегментах [-1,1] и [0,1]. Норма полиномов Лежандра. Некоторые основные теоремы о разложении функции в ряды Фурье-Лежандра и Фурье-Чебышёва.
Элементы теории моментов относительно полиномов Лежандра. Определение момента k-го порядка скалярной функции (тензорной величины) относительно полиномов Лежандра. Моменты k-го порядка первых и вторых производных от скалярной функции относительно полиномов Лежандра. Моменты k-го порядка производной скалярной функции любого порядка по поперечной координате относительно полиномов Лежандра. Представления и момент k-го порядка градиента, повторного градиента, дивергенции и ротора, градиента дивергенции и оператора Лапласа от тензора относительно полиномов Лежандра.
Представления системы уравнений движения микрополярной (классической) теории относительно тензоров напряжений и моментных напряжений (тензора напряжений) и определяющих соотношений этих теорий, системы уравнений относительно векторов перемещений и вращений (вектора перемещений) микрополярной (классической) теории упругости анизотропного и изотропного материалов при НПОТТ, а также в моментах относительно системы полиномов Лежандра. Кинематические и статические граничные условия, начальные условия и постановки первой, второй и смешанной начально-краевых задач микрополярной и классической математических теорий тонких тел при НПОТТ, а также в моментах относительно системы полиномов Лежандра.
Квазистатическая задача микрополярной (классической) теории призматических тел постоянной толщины относительно векторов перемещений и вращений (вектора перемещений), а также в моментах векторов перемещений и вращений (вектора перемещений). Постановки краевых задач. О расщеплении начально-краевых задач микрополярной и классической математических теорий тонких тел и аналитических решениях уравнений этих теорий.

Основные понятия теории термоупругости.
Теплопроводность: тепловой удар на поверхности полупространства; тепловой удар на поверхности полупространства в случае однородного полупространства.
Стационарное неосесимметричное плоское температурное поле длинного полого цилиндра. Плоская задача термоупругости. Плоская деформация и плоское напряженное состояние.
Плоская задача термоупругости в напряжениях. Граничные условия для функции напряжений в системе ортогональных криволинейных координат. Основные соотношения и уравнения плоской задачи термоупругости в полярных координатах.
Тепловые напряжения в цилиндре и диске при плоском осесимметричном температурном поле.
Антисимметричное плоское температурное поле.
Тепловые напряжения в полом цилиндре и диске с центральным отверстием при плоском стационарном неосесимметричном температурном поле.
Гипергеометрические уравнения. Тепловые напряжения в цилиндре при переменных модуле упругости и коэффициенте линейного теплового расширения.
Текущий контроль успеваемости
Осесимметричная задача термоупругости (квазистатическая постановка). Тепловые напряжения в полупространстве при наличии источника тепла на поверхности.
Динамические задачи теории температурных напряжений. Решение дифференциальных уравнений теории температурных напряжений. Теорема Гельмгольца.
Распространение гармонических термоупругих волн в бесконечном упругом пространстве. Распространение апериодических термоупругих волн в бесконечном упругом пространстве.
Задача В.И. Даниловской (основная динамическая задача теории температурных напряжений – задача о тепловом ударе на поверхности упругого полупространства).
Учет связанности полей деформации и температуры (на примере задачи о колебаниях балки под действием теплового удара).
Мгновенное нагревание границы сферической полости в бесконечном упругом пространстве.